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指数・対数・三角関数

三角関数の合成

$a\sin\theta + b\cos\theta$ の変換

指数・対数・三角関数の「三角関数の合成」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$a\sin\theta + b\cos\theta$ の変換」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約21分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角関数の合成の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta + b\cos\theta の変換
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)sin⁡θ+cos⁡θ(1)\quad \sin\theta + \cos\theta を rsin⁡(θ+α)r\sin(\theta + \alpha) の形に変形せよ。ただし r>0r > 0, −π<α≦π-\pi < \alpha \leqq \pi とする。

(2)0≦θ<2π(2)\quad 0 \leqq \theta < 2\pi のとき、sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta の最大値と最小値、およびそのときの θ\theta の値を求めよ。

(3)0≦θ<2π(3)\quad 0 \leqq \theta < 2\pi のとき、方程式 sin⁡θ+cos⁡θ=1\sin\theta + \cos\theta = 1 を解け。

答えを見る

(1)  (1)\; sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)‾\sin\theta + \cos\theta = \underline{\sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)}

(2)  (2)\; 最大値 2‾\underline{\sqrt{2}}（θ=π4\theta = \dfrac{\pi}{4} のとき）、最小値 −2‾\underline{-\sqrt{2}}（θ=5π4\theta = \dfrac{5\pi}{4} のとき）

(3)  (3)\; θ=0, π2‾\theta = \underline{0,\, \dfrac{\pi}{2}}

解説

三角関数の合成について解説します。

sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta のような式って、これ以上簡単にできるんですか？

実はできるんだ！「三角関数の合成」という方法を使うと、asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta + b\cos\theta の形を1つの三角関数にまとめることができるよ。

三角関数の合成は、加法定理の逆操作にあたります。まずは公式を確認しましょう。

なぜこのような式が成り立つんですか？

加法定理を使って確認してみよう！sin⁡(θ+α)\sin(\theta + \alpha) を展開するとわかるよ。

加法定理より、

a2+b2  sin⁡(θ+α)\sqrt{a^2+b^2}\;\sin(\theta + \alpha)
=a2+b2  (sin⁡θcos⁡α+cos⁡θsin⁡α)= \sqrt{a^2+b^2}\;(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha)
=a2+b2cos⁡α⋅sin⁡θ+a2+b2sin⁡α⋅cos⁡θ= \sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha \cdot \sin\theta + \sqrt{a^2+b^2}\sin\alpha \cdot \cos\theta

ここで、cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} を代入すると、

=a2+b2⋅aa2+b2⋅sin⁡θ+a2+b2⋅ba2+b2⋅cos⁡θ= \sqrt{a^2+b^2} \cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \sin\theta + \sqrt{a^2+b^2} \cdot \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \cos\theta
=asin⁡θ+bcos⁡θ= a\sin\theta + b\cos\theta

このように、確かに元の式に戻ることが確認できました。

なるほど！加法定理を逆に使っているんですね。

その通り！実際に合成するときの手順を覚えておこう。

それでは、問題を解いていきましょう！

(1)sin⁡θ+cos⁡θ(1)\quad \sin\theta + \cos\theta を rsin⁡(θ+α)r\sin(\theta + \alpha) の形に変形せよ。

この問題では a=1a = 1（sin⁡θ\sin\theta の係数）、b=1b = 1（cos⁡θ\cos\theta の係数）です。

手順に沿ってやっていこう！

手順① rr を求めます。

r=a2+b2=12+12=2r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

手順② α\alpha を求めます。

cos⁡α=ar=12=22\cos\alpha = \dfrac{a}{r} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡α=br=12=22\sin\alpha = \dfrac{b}{r} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

cos⁡α=22\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2} かつ sin⁡α=22\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2} を満たす角は α=π4\alpha = \dfrac{\pi}{4} です。

P 45° √2/2 √2/2 x y 1 -1 1 -1
θ=45∘\theta = 45^\circ
P(22,22)P\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
sin⁡θ=22\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡θ=22\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

点 (1,1)(1, 1) の偏角が π4\dfrac{\pi}{4} であることを、単位円で確認できます。

手順③ 結果を書きます。

sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)‾\sin\theta + \cos\theta = \underline{\sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)}

sin⁡\sin と cos⁡\cos が混ざった式が、きれいに1つの sin⁡\sin にまとまりましたね！

そうだね！合成のメリットは、1つの三角関数にすることで最大値・最小値や方程式が解きやすくなることなんだ。

次の小問で実際にやってみよう！

(2)0≦θ<2π(2)\quad 0 \leqq \theta < 2\pi のとき、sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta の最大値と最小値を求めよ。

(1)(1) の結果から、sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) です。

sin⁡\sin の値の範囲は −1≦sin⁡(θ+π4)≦1-1 \leqq \sin(\theta + \dfrac{\pi}{4}) \leqq 1 だよね。これを使おう！

−1≦sin⁡(θ+π4)≦1-1 \leqq \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leqq 1 なので、各辺に 2\sqrt{2} を掛けると、

−2≦2sin⁡(θ+π4)≦2-\sqrt{2} \leqq \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) \leqq \sqrt{2}

最大値 2\sqrt{2} は、sin⁡(θ+π4)=1\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1 のとき。

θ+π4=π2\theta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}
θ=π2−π4=π4\theta = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}

最小値 −2-\sqrt{2} は、sin⁡(θ+π4)=−1\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 のとき。

θ+π4=3π2\theta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}
θ=3π2−π4=5π4\theta = \dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}

合成後の関数のグラフを見てみましょう。

0 2 4 6 -2 -1 1 2

グラフから、振幅が 2≈1.41\sqrt{2} \approx 1.41 であることが確認できますね。

よって、最大値 2‾\underline{\sqrt{2}}（θ=π4\theta = \dfrac{\pi}{4} のとき）、最小値 −2‾\underline{-\sqrt{2}}（θ=5π4\theta = \dfrac{5\pi}{4} のとき）。

合成すると最大値・最小値がすぐに求められるんですね！

そうだよ！rsin⁡(θ+α)r\sin(\theta + \alpha) の形にすれば、最大値は rr、最小値は −r-r とすぐにわかるんだ。

(3)0≦θ<2π(3)\quad 0 \leqq \theta < 2\pi のとき、方程式 sin⁡θ+cos⁡θ=1\sin\theta + \cos\theta = 1 を解け。

(1)(1) の結果を使って合成すると、

2sin⁡(θ+π4)=1\sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1
sin⁡(θ+π4)=12=22\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

sin⁡\sin の方程式の形になったね！θ+π4=t\theta + \dfrac{\pi}{4} = t と置くと解きやすいよ。

θ+π4=t\theta + \dfrac{\pi}{4} = t とおくと、0≦θ<2π0 \leqq \theta < 2\pi のとき π4≦t<9π4\dfrac{\pi}{4} \leqq t < \dfrac{9\pi}{4} です。

この範囲で sin⁡t=22\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2} を解くと、

P 45° √2/2 √2/2 x y 1 -1 1 -1
θ=45∘\theta = 45^\circ
P(22,22)P\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
sin⁡θ=22\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡θ=22\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

sin⁡t=22\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2} を満たすのは t=π4,3π4t = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4} （基本解）です。

π4≦t<9π4\dfrac{\pi}{4} \leqq t < \dfrac{9\pi}{4} の範囲では、t=π4,3π4t = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4} が該当します。

t=θ+π4t = \theta + \dfrac{\pi}{4} なので、

t=π4t = \dfrac{\pi}{4} のとき：θ=π4−π4=0\theta = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = 0

t=3π4t = \dfrac{3\pi}{4} のとき：θ=3π4−π4=π2\theta = \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}

tt の範囲をきちんと変換するのがポイントですね！

その通り！θ\theta の範囲から tt の範囲を正しく求めることが大切だよ。

検算として、θ=0\theta = 0 のとき sin⁡0+cos⁡0=0+1=1\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1 で確かに成り立つね。

よって、θ=0, π2‾\theta = \underline{0,\, \dfrac{\pi}{2}}

このページのまとめ

ここでは三角関数の合成について学習しました。

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2  sin⁡(θ+α)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\;\sin(\theta + \alpha) の公式を使うことで、最大値・最小値の問題や三角方程式を効率的に解くことができます。

合成は入試でも頻出のテーマなので、手順をしっかり身につけてくださいね！

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