三角関数の周期と振幅

問題

次の関数の振幅と周期を求めよ。また、$(2)$では位相のずれも答えよ。

解説

三角関数の周期と振幅について解説します。

三角関数のグラフで「振幅」や「周期」って何のことですか？

いい質問だね！$y=\sin x$のような波の形をしたグラフの特徴を表す大切な要素だよ。

まずは一般形を確認してから、問題を解いていこう！

三角関数のグラフの一般形は次のようになります。

$\cos$の場合も同じですか？

うん、$y=A\cos(Bx+C)+D$でも振幅・周期・位相の求め方は全く同じだよ。

$\sin$と$\cos$はグラフの形が同じで、位相が$\frac{\pi}{2}$だけずれているだけだからね。

基本の$y=\sin x$のグラフを確認しておきましょう。振幅$1$、周期$2\pi$です。

それでは問題を解いていきましょう！

この関数を$y=A\sin(Bx+C)+D$の形と見比べます。

$y=3\sin 2x$ より、$A=3$、$B=2$、$C=0$、$D=0$ と読み取れます。

• 振幅$=|A|=|3|=\underline{3}$

• 周期$=\dfrac{2\pi}{|B|}=\dfrac{2\pi}{2}=\underline{\pi}$

グラフで確認してみよう！青が$y=\sin x$、赤が$y=3\sin 2x$だよ。

赤のグラフは上下の幅が$3$倍になって、波の数が$2$倍になっていますね！

その通り！$A=3$で振幅が$3$倍、$B=2$で周期が$\frac{1}{2}$倍（つまり$\pi$）になっているんだ。

この関数は$\cos$ですが、振幅・周期・位相の求め方は$\sin$の場合と同じです。

$y=A\cos(Bx+C)+D$の形と見比べると、$A=2$、$B=3$、$C=-\frac{\pi}{4}$、$D=0$ です。

• 振幅$=|A|=|2|=\underline{2}$

• 周期$=\dfrac{2\pi}{|B|}=\underline{\dfrac{2\pi}{3}}$

位相のずれはどうやって求めればいいですか？

カッコの中を$B$でくくって変形するのがポイントだよ！

位相のずれを求めるために、カッコの中を$B$でくくります。

よって$y=2\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\right)$と変形でき、これは$y=2\cos 3x$のグラフを右に$\frac{\pi}{12}$だけ平行移動したものであることがわかります。

• 位相のずれ$=\underline{\dfrac{\pi}{12}\;(\text{右にずれる})}$

位相のずれは、$Bx+C=0$を$x$について解いて$x=-\frac{C}{B}$と求めてもOKだよ。

$x=-\frac{-\pi/4}{3}=\frac{\pi}{12}$で、正の値だから右にずれるね。

グラフで確認してみましょう。青が$y=2\cos 3x$（位相のずれなし）、赤が$y=2\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$です。

赤のグラフが青のグラフより少し右にずれていますね！これが位相のずれなんですね。

その通り！右に$\frac{\pi}{12}$だけずれているね。

位相のずれを求めるときは、$Bx+C$を$B(x-\alpha)$の形に変形して$\alpha$を読み取るのがコツだよ。

ここでは三角関数の周期と振幅について学習しました。

$y=A\sin(Bx+C)+D$の形の関数について、振幅$|A|$、周期$\frac{2\pi}{|B|}$、位相のずれ$-\frac{C}{B}$の3つを正確に読み取れるようにしましょう。

特に位相のずれは、カッコの中を$B$でくくる変形がポイントです。

色々な問題で練習してマスターしてくださいね！