三角関数の方程式

問題

$0 \leqq x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

解説

三角関数の方程式の解き方について解説します。

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ のような方程式はどうやって解けばいいですか？

三角関数の方程式を解くときは、単位円を使うのがポイントだよ！

単位円上で条件を満たす点を見つけて、その角度を求めるんだ。

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ を解くには、単位円上で $y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ になる点を探そう。

単位円上で $y = \dfrac{1}{2}$ となる点を考えます。

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ となる基本角は $x = \dfrac{\pi}{6}$ です。

あれ、でも $y = \dfrac{1}{2}$ になる点は2つありますよね？

いい気づきだね！

単位円上で $y = \dfrac{1}{2}$ となる点は第1象限と第2象限に1つずつあるんだ。

第1象限では $x = \dfrac{\pi}{6}$、

第2象限では $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ となります。

$x = \dfrac{\pi}{6}$（$30^\circ$）のとき

$x = \dfrac{5\pi}{6}$（$150^\circ$）のとき

今度は $\cos x$ の方程式だね。単位円上で $x$ 座標が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ になる点を探そう。

$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ は $\cos x$ が負なので、第2象限または第3象限に解があります。

$\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる基本角は $\dfrac{\pi}{6}$ なので、

基本角の $\dfrac{\pi}{6}$ を使って、負になる象限の角度を求めればいいんですね！

その通り！第2象限では $\pi - \dfrac{\pi}{6}$、第3象限では $\pi + \dfrac{\pi}{6}$ だよ。

第2象限：$x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$

第3象限：$x = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$

$x = \dfrac{5\pi}{6}$（$150^\circ$）のとき

$x = \dfrac{7\pi}{6}$（$210^\circ$）のとき

よって、$x = \underline{\dfrac{5\pi}{6},\, \dfrac{7\pi}{6}}$

最後は $\tan x$ の方程式だね。

$\tan x = 1$ は、原点を通る傾き $1$ の直線と単位円の交点を考えるんだ。

$\tan x = 1$ となる基本角は $x = \dfrac{\pi}{4}$ です。

$\tan$ の周期は $\pi$ だから、$\dfrac{\pi}{4}$ に $\pi$ を足した角度も解になりますか？

完璧！$\tan$ は周期 $\pi$ で同じ値を取るから、$\dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$ も解になるね。

$0 \leqq x < 2\pi$ の範囲で $\tan x = 1$ を満たすのは、

$x = \dfrac{\pi}{4}$ と $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$ の2つです。

$x = \dfrac{\pi}{4}$（$45^\circ$）のとき

$x = \dfrac{5\pi}{4}$（$225^\circ$）のとき

よって、$x = \underline{\dfrac{\pi}{4},\, \dfrac{5\pi}{4}}$

最後に、一般解についても触れておこう。

範囲の指定がない場合は、周期を使って一般解を書く必要があるよ。

なるほど！範囲が指定されているときはその範囲内の解を求めて、範囲がないときは一般解を書けばいいんですね。

その通り！単位円をイメージしながら解くことが大切だよ。

ここでは三角関数の方程式 $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ の解き方について学習しました。

単位円を使って、条件を満たす角度を見つけることがポイントです。

$\sin$, $\cos$ は周期 $2\pi$、$\tan$ は周期 $\pi$ であることを覚えておきましょう！