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指数・対数・三角関数

指数方程式・指数不等式

指数・対数・三角関数の「指数方程式・指数不等式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約8分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

指数方程式・指数不等式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

指数・対数・三角関数の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 指数方程式・指数不等式
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問題

次の方程式、不等式を解け。

(1)4x−3⋅2x+1+23=0(1)\quad 4^{\displaystyle x}-3\cdot 2^{\displaystyle x+1}+2^{\displaystyle 3}=0
(2)1  4x−1  2x−2>0(2)\quad \frac{1}{\;4^{\displaystyle x}}-\frac{1}{\;2^{\displaystyle x}}-2>0

答えを見る
(1)x=1,2‾(1)\quad x=\underline{1,2}
(2)x<−1‾(2)\quad \underline{x<-1}

解説

指数方程式と指数不等式の問題について解説します。

指数方程式と指数不等式の基本的な解法は以下の通りです。

ここではttという文字でおいていますが、文字は何でもOKです。

ax=ta^x=tとおくことができれば、あとはt>0t>0に注意しながらttの方程式や不等式を解くだけとなります。

(1)(1)から見ていきましょう！

次の方程式、不等式を解け。

(1)4x−3⋅2x+1+23=0(1)\quad 4^{\displaystyle x}-3\cdot 2^{\displaystyle x+1}+2^{\displaystyle 3}=0

4x=(22)x=(2x)24^{\displaystyle x}=(2^{\displaystyle 2})^{\displaystyle x}=(2^{\displaystyle x})^{\displaystyle 2}と表現できるので、2x=t2^{\displaystyle x}=tとおけばttだけで方程式を表せそうですね。解答例は以下のようになります。

与えられた方程式においてt=2x  (t>0)t=2^x\;(t>0)とすると

t2−6t+8=0t^2-6t+8=0となる。この22次方程式を解くとt=2,4t=2,4

t=2,4t=2,4はt>0t>0を満たすので、文字を戻して2x=2,42^x=2,4

これを解いて、x=1,2‾x=\underline{1,2}

次の方程式、不等式を解け。

(2)1  4x−1  2x−2>0(2)\quad \frac{1}{\;4^{\displaystyle x}}-\frac{1}{\;2^{\displaystyle x}}-2>0

この問題も2x=t{2^x=t}とおけば⋯\cdots

もちろんそれでも解けるけど、分数だから(12)x=t\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x}=tとおくのもありだね。

この場合は底が11より小さいから文字を戻すとき大小関係が逆転することに気をつけてね。

(12)x=t\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x}=tとおく解法を示します。

与えられた不等式を変形すると(12)2x−(12)x−2>0\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle 2x}-\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x}-2>0

(12)x=t(t>0)\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x}=t(t>0)とおくとt2−t−2>0t^2-t-2>0

これを解いてt<−1,2<tt<-1,2<tとなる。t>0t>0であるから2<t2<t

よって文字を戻して2<(12)x  ⟺  (12)−1<(12)x2 <\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x} \iff \left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle -1}<\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x}

底が11より小さいことに注意して、x<−1‾\underline{x<-1}

もちろん2x=t2^x=tとおいて考えても大丈夫だよ。

計算量で言えば(12)x=t\left(\frac 1 2\right)^{\displaystyle x}=tとおいた方が少しスッキリしているけどね。

このページのまとめ

ここでは指数方程式と指数不等式の問題について解説しました。

慣れてしまえばただ方程式・不等式の問題を解くだけですが、細かい計算ミスなどが発生しがちです。

色々な問題を解いて、マスターしてくださいね！

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