原始関数は、どうやって見つけるの？

弧度法（ラジアン）では、指数・対数・三角関数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

弧度法（ラジアン）の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

弧度法（ラジアン）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 度数法との変換・弧の長さと扇形の面積
ポイント: 指数・対数・三角関数の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$(1)\quad$ 次の角度を弧度法（ラジアン）で表せ。

\qquad 60°, \quad 150°, \quad 210°

$(2)\quad$ 次の角度を度数法で表せ。

\qquad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad \frac{7\pi}{6}

$(3)\quad$ 半径 $3$ , 中心角 $\frac{2\pi}{3}$ の扇形について、弧の長さ $l$ と面積 $S$ を求めよ。

答えを見る

$(1)\;$ $60° = \underline{\frac{\pi}{3}}$ , $\quad 150° = \underline{\frac{5\pi}{6}}$ , $\quad 210° = \underline{\frac{7\pi}{6}}$

$(2)\;$ $\frac{\pi}{4} = \underline{45°}$ , $\quad \frac{2\pi}{3} = \underline{120°}$ , $\quad \frac{7\pi}{6} = \underline{210°}$

$(3)\;$ $l = \underline{2\pi}$ , $\quad S = \underline{3\pi}$

解説

弧度法（ラジアン）について解説します。

弧度法ってなんですか？今まで使っていた度数法とは違うんですか？

いい質問だね！度数法は $1$ 周を $360°$ として角度を測る方法だったよね。

弧度法は、それとは別の角度の表し方なんだ。数学IIの三角関数ではこちらがよく使われるよ。

まずは弧度法の定義を説明します。

弧の長さが半径と同じになる角度が $1$ ラジアンなんですね。それは何度くらいですか？

$1$ ラジアンは約 $57.3°$ だよ。でも大事なのはこの数値ではなくて、 $\pi$ との関係なんだ。

円の1周の弧の長さは $2\pi r$ です。弧度法での $1$ 周は $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ ラジアンとなります。

つまり、 $360° = 2\pi$ ラジアンです。両辺を $2$ で割ると、

$180° = \pi$ を基準にして変換すればいいんですね！

その通り！有名角のラジアン表記も覚えておこう。よく使うものをまとめるよ。

\Large \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 度数法 & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 180° & 360° \\ \hline 弧度法 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{2\pi}{3} & \pi & 2\pi \\ \hline \end{array}

この表は丸暗記する必要はないよ。 $180° = \pi$ から計算できるようになればOKだよ！

例えば $60°$ なら、 $180°$ の $\frac{60}{180} = \frac{1}{3}$ 倍だから $\frac{\pi}{3}$ 、

$90°$ なら $180°$ の $\frac{90}{180} = \frac{1}{2}$ 倍だから $\frac{\pi}{2}$ 、というように求められます。

それでは問題を解いていきましょう！

$(1)\quad$ 次の角度を弧度法（ラジアン）で表せ。

\qquad 60°, \quad 150°, \quad 210°

度数法から弧度法への変換だね。 $\frac{\pi}{180}$ を掛ければいいんだよ。

60° = 60 \times \frac{\pi}{180}

= \underline{\frac{\pi}{3}}

150° = 150 \times \frac{\pi}{180}

= \underline{\frac{5\pi}{6}}

210° = 210 \times \frac{\pi}{180}

= \underline{\frac{7\pi}{6}}

分数を約分するだけで求められますね！

その通り！計算に慣れたら $180° = \pi$ から暗算でできるようになるよ。

$(2)\quad$ 次の角度を度数法で表せ。

\qquad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad \frac{7\pi}{6}

今度は逆の変換だね。 $\frac{180}{\pi}$ を掛ければOKだよ。

\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi}

= \frac{180}{4}

= \underline{45°}

\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \times \frac{180}{\pi}

= \frac{360}{3}

= \underline{120°}

\frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180}{\pi}

= \frac{1260}{6}

= \underline{210°}

$\pi$ が約分されて消えるから計算しやすいですね！

単位円で有名角を確認してみましょう。

\theta = 60^\circ

P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos\theta = \frac{1}{2}

上の単位円では $60°$ （ $= \frac{\pi}{3}$ rad）を表示しています。弧度法で角度を表しても、表す角度は度数法と全く同じです。

$(3)\quad$ 半径 $3$ , 中心角 $\frac{2\pi}{3}$ の扇形について、弧の長さ $l$ と面積 $S$ を求めよ。

弧度法を使うと、弧の長さや扇形の面積がとてもシンプルな公式で求められるんだ。

これが弧度法を使う大きなメリットだよ！

度数法のときの公式 $l = 2\pi r \times \frac{\theta}{360}$ と比べてすごくシンプルですね！

そうなんだ！弧度法を使うとかけ算だけで済むから、計算がとても楽になるんだよ。

それでは公式に値を代入して計算しましょう。半径 $r = 3$ , 中心角 $\theta = \frac{2\pi}{3}$ です。

弧の長さ：

l = r\theta

= 3 \times \frac{2\pi}{3}

= \underline{2\pi}

扇形の面積：

S = \frac{1}{2}r^2\theta

= \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{2\pi}{3}

= \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{2\pi}{3}

= \underline{3\pi}

公式に当てはめるだけで簡単に求められますね！

その通り！ $S = \frac{1}{2}rl$ を使っても同じ結果が得られるよ。確認してみよう。

S = \frac{1}{2}rl

= \frac{1}{2} \times 3 \times 2\pi

$= 3\pi$ ✓

ところで、なぜ数学では度数法ではなく弧度法を使うんですか？

大きく2つの理由があるよ。

1つ目は、今見たように弧の長さや面積の公式がシンプルになること。

2つ目は、数学IIIで学ぶ微分の公式が簡単になること。例えば弧度法では $(\sin x)' = \cos x$ となるんだけど、度数法だとこんなにキレイにはならないんだ。

なるほど！弧度法を使うメリットがよく分かりました！

このページのまとめ

ここでは弧度法（ラジアン）について学習しました。

$180° = \pi$ という関係を覚えておけば、度数法と弧度法の変換は簡単にできます。

また、弧の長さ $l = r\theta$ や扇形の面積 $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ はよく使う公式なので、しっかり覚えておきましょう！

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