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指数・対数・三角関数

積和・和積の公式

積を和に・和を積に変換

指数・対数・三角関数の「積和・和積の公式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「積を和に・和を積に変換」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約15分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

積和・和積の公式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

積を和に・和を積に変換の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 積を和に・和を積に変換
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

(1)sin⁡75°cos⁡15°(1)\quad \sin 75° \cos 15° の値を求めよ。

(2)sin⁡75°+sin⁡15°(2)\quad \sin 75° + \sin 15° の値を求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; sin⁡75°cos⁡15°=2+34‾\sin 75° \cos 15° = \underline{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}

(2)  (2)\; sin⁡75°+sin⁡15°=62‾\sin 75° + \sin 15° = \underline{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}

解説

積和・和積の公式について解説します。

積和の公式や和積の公式って、たくさんあって覚えられないです⋯\cdots

安心して！これらの公式は加法定理から簡単に導けるんだ。

覚えるよりも、導き方を理解することが大切だよ！

積和の公式とは、三角関数の「積」を「和」に変換する公式です。和積の公式は、その逆で「和」を「積」に変換します。

まずは加法定理から積和の公式を導出してみましょう。

加法定理の sin⁡\sin について、次の2つの式を考えます。

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β⋯(1)\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (1)
sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β⋯(2)\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \quad \cdots (2)

この2つの式を「足す」とどうなるかな？

cos⁡αsin⁡β\cos\alpha\sin\beta の部分が消えて⋯\cdots sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡αcos⁡β\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta ですか？

正解！両辺を2で割ると積和の公式の1つ目が得られるね。

(1)+(2)(1) + (2) より sin⁡αcos⁡β=12{sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)}\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}

(1)−(2)(1) - (2) より cos⁡αsin⁡β=12{sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)}\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\}

同様に cos⁡\cos の加法定理からも導けます。

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β⋯(3)\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (3)
cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β⋯(4)\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots (4)

(3)+(4)(3) + (4) より cos⁡αcos⁡β=12{cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)}\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}

(3)−(4)(3) - (4) より sin⁡αsin⁡β=−12{cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)}\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}

和積の公式はどうやって導くんですか？

積和の公式で α+β=A\alpha + \beta = A、α−β=B\alpha - \beta = B と置き換えるんだ。

すると α=A+B2\alpha = \frac{A+B}{2}、β=A−B2\beta = \frac{A-B}{2} になるよ。

例えば、積和の公式の1つ目 sin⁡αcos⁡β=12{sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)}\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} で、α+β=A\alpha + \beta = A、α−β=B\alpha - \beta = B とおくと、

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

が得られます。他の公式も同様に導けます。

それでは実際に問題を解いていきましょう！

(1)sin⁡75°cos⁡15°(1)\quad \sin 75° \cos 15° の値を求めよ。

三角関数の「積」の形だね。どの公式を使えばいいかな？

sin⁡×cos⁡\sin \times \cos の形なので、sin⁡αcos⁡β=12{sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)}\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} ですね！

α=75°\alpha = 75°、β=15°\beta = 15° として積和の公式を使います。

sin⁡75°cos⁡15°\sin 75° \cos 15°
=12{sin⁡(75°+15°)+sin⁡(75°−15°)}= \dfrac{1}{2}\{\sin(75°+15°) + \sin(75°-15°)\}
=12(sin⁡90°+sin⁡60°)= \dfrac{1}{2}(\sin 90° + \sin 60°)
=12(1+32)= \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
=12+34= \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}
=2+34‾= \underline{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}

積を和に変換したおかげで、sin⁡90°\sin 90° や sin⁡60°\sin 60° のような求めやすい値に変わったね！

(2)sin⁡75°+sin⁡15°(2)\quad \sin 75° + \sin 15° の値を求めよ。

今度は三角関数の「和」の形だね。今回は和積の公式を使おう！

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} に A=75°A = 75°、B=15°B = 15° を代入します。

sin⁡75°+sin⁡15°\sin 75° + \sin 15°
=2sin⁡75°+15°2cos⁡75°−15°2= 2\sin\dfrac{75°+15°}{2}\cos\dfrac{75°-15°}{2}
=2sin⁡45°cos⁡30°= 2\sin 45° \cos 30°
=2×22×32= 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}
=62‾= \underline{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}

和を積に変換したら、sin⁡45°\sin 45° と cos⁡30°\cos 30° の掛け算になって計算しやすくなりましたね！

その通り！積和・和積の公式のポイントは、「計算しにくい角度の三角関数」を「計算しやすい角度の三角関数」に変換できることなんだ。

「積 → 和」には積和の公式、「和 → 積」には和積の公式、と使い分けよう。

どちらも加法定理から導けるので、忘れたら導出すればOKだよ！

このページのまとめ

ここでは積和・和積の公式について学習しました。

公式はたくさんありますが、すべて加法定理の式を「足す」か「引く」かで導けます。

試験中に忘れてしまっても自力で導出できるように、導き方をしっかり理解しておきましょう！

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