対数関数のグラフ

問題

対数関数$y=\log_2 x$と$y=\log_{\frac{1}{2}} x$のグラフの特徴を述べ、次の各問に答えよ。

$(1)\quad$ $\log_2 x > 3$を満たす$x$の範囲を求めよ。

$(2)\quad$ $3$つの数$\log_2 3$, $\log_2 5$, $\log_2 1$を小さい順に並べよ。

解説

対数関数のグラフについて解説します。

対数関数ってどんな関数ですか？

$a$を正の定数（$a \neq 1$）とするとき、$y=\log_a x$の形で表される関数を対数関数というよ。

指数関数$y=a^x$の逆関数なんだ。まずは定義と基本的な性質を確認しよう！

なぜすべてのグラフが$(1, 0)$を通るんですか？

底$a$が何であっても、$a^0=1$だから$\log_a 1=0$になるんだ。

つまり$x=1$を代入すると必ず$y=0$になるよ。

それでは、底$a$の値によってグラフがどう変わるか見ていきましょう。

$a>1$のとき、グラフは右上がりになるよ。

$x$が増加すると$y$も増加する、つまり単調増加だね。

$x$が$0$に近づくと$y$はどんどん小さくなって$-\infty$に向かうんだ。

$0<a<1$のとき、グラフは右下がりになるよ。

$x$が増加すると$y$は減少する、つまり単調減少だね。

$y=\log_2 x$と$y=\log_{\frac{1}{2}} x$のグラフには何か関係がありますか？

いいところに気づいたね！

$\log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x$だから、$y=\log_2 x$のグラフを$x$軸に関して対称に折り返したものなんだ。

次に、対数関数と指数関数の関係について見てみましょう。

$y=2^x$と$y=\log_2 x$は直線$y=x$に関して対称なんだ。

これは、対数関数が指数関数の逆関数だからだよ。

逆関数の関係だから、$x$と$y$を入れ替えた関係になっているんですね！

その通り！$y=a^x$で$x$と$y$を入れ替えると$x=a^y$、

これを$y$について解くと$y=\log_a x$になるんだ。

指数関数のときと同じで、底が$1$より大きいか小さいかで不等号の向きが変わるんですね！

その通り！グラフの形と対応させて覚えるといいよ。

右上がりなら大小はそのまま、右下がりなら大小が逆転するんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

まず$3$を$\log_2$の形で表してみよう。

$3=\log_2 8$（$2^3=8$より）なので、不等式は$\log_2 x > \log_2 8$と書き直せます。

底$2>1$なので、対数関数$y=\log_2 x$は単調増加です。

したがって、真数部分の大小がそのまま対数の大小になるので、

ただし、真数条件$x>0$も確認します。$x>8$は$x>0$を満たすので問題ありません。

よって、$\underline{x>8}$

グラフを見ると、$x=8$のとき$y=3$で、$x>8$の部分で$y>3$になっているのが確認できるね。

$3$つとも底が$2$で同じだね。底の値に注目しよう。

底$2>1$なので、対数関数$y=\log_2 x$は単調増加です。

つまり、真数部分が大きいほど対数の値も大きくなります。

真数を比較すると、$1 < 3 < 5$ です。

底$2>1$で単調増加なので、真数の大小がそのまま保存され、

ちなみに$\log_2 1=0$なので、$\log_2 3$と$\log_2 5$はどちらも正の値です。

よって、小さい順に $\underline{\log_2 1 < \log_2 3 < \log_2 5}$

もし底が$\frac{1}{2}$だったら、不等号の向きが逆になるんですね！

その通り！底が$0<a<1$のときは単調減少だから、真数が大きいほど対数の値は小さくなるよ。

底の値が$1$より大きいか小さいかを必ず確認しようね。

ここでは対数関数$y=\log_a x$のグラフの特徴について学習しました。

$a>1$のときは単調増加（右上がり）、$0<a<1$のときは単調減少（右下がり）で、すべてのグラフが点$(1, 0)$を通ります。

また、対数関数$y=\log_a x$は指数関数$y=a^x$の逆関数で、直線$y=x$に関して対称です。

対数の大小比較では、底が$1$より大きいか小さいかで不等号の向きが変わるので注意してくださいね！