対数方程式・対数不等式

問題

次の方程式、不等式を解け。

解説

対数方程式と対数不等式の問題を解説します。

指数方程式・指数不等式のときと同様に、対数の入った方程式や不等式を扱う際の基本的な解法は以下の通りです。

とくに、最初に「真数条件」や「底の条件」を確認するのを絶対に忘れないようにしましょう。

念のため、対数の底の条件を確認しておきます。

それではこの手順に基づいて、問題を解いていきます！

まずは真数条件を確認すると$x>0$となります。

この問題では底に$x$があるので、底の条件も確認しましょう。

真数条件と合わせると$x>0,x\neq 0$となりますね。

次に底を統一することを考えます。

$\log_3 x$を文字でおきたいので、$\log_x{81}$に底の変換公式を使うと$\log_x{81}=\frac{\log_3 81}{\log_3 x}$とできるので、与えられた不等式は$\frac{\log_3 81}{\log_3 x}-\log_3 x- 3=0$とできますね。

$\log_3 x=t$とおき整理すると$t^2+3t-4=0$となります。

帰着した$2$次方程式$t^2+3t-4=0$を解くと$t=-4,1$となります。

{t}を元に戻すと、${\log_3x=-4,1}$となりますね。

$-4=\log_3{\frac{1}{81}},1 = \log_3{3}$であることに注意すると、$x=\frac{1}{81},3$となり、これは$x>0,x\neq 0$を満たします。

よって、解は$x=\underline{\frac{1}{81},3}$となります。

最後に最初に求めた条件を満たしているかどうか確認するのを忘れないようにしてね。

それでは次の問題をみていきましょう。

この問題も$(1)$と同様の手順で解きます。解答例は次のようになります。

底が$1$より大きいときと小さいときで不等式の向きが変わるから注意してね。

ここでは対数方程式と対数不等式の問題について解説しました。

帰着した方程式や不等式を解くだけなので難易度は高くありませんが、条件の確認や底の数字などで不等号の向きが変わる点など、気をつけなければならない点も多いので間違えないようにしてくださいね！