対数の定義に直すのは、どんなとき？

対数の性質では、指数・対数・三角関数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

対数の性質の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

対数の性質の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

積・商・累乗の対数の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 積・商・累乗の対数
ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の値を求めよ。

(1)\quad \log_2 48 - \log_2 3

(2)\quad \log_3 2 + \log_3 \frac{9}{2}

$(3)\quad \log_{10} 2 = 0.3010, \; \log_{10} 3 = 0.4771$ のとき、 $\log_{10} 12$ の値を求めよ。

答えを見る

(1)\;\underline{4}

(2)\;\underline{2}

(3)\;\underline{1.0791}

解説

対数の性質を使った計算問題について解説します。

対数の定義は分かったんですが、 $\log_2 48$ みたいな対数ってどう計算するんですか？

いい質問だね。対数にはとても便利な性質があって、それを使うと複雑な対数も簡単に計算できるんだ。

まずは対数の基本性質から確認していこう！

対数には以下の基本性質があります。

たくさんありますね...。なぜこれが成り立つんですか？

実は全部、指数法則から導けるんだ。

対数は指数の逆だから、指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ が対数では「積の対数 = 対数の和」になるんだよ。

これらの性質は指数法則から証明できます。③の証明を見てみましょう。

$\log_a M = p, \; \log_a N = q$ とおくと、対数の定義より

M = a^p, \quad N = a^q

よって $MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ （指数法則）

両辺の底 $a$ の対数を取ると $\log_a MN = p + q = \log_a M + \log_a N$

なるほど、指数法則がそのまま対数の性質になるんですね！

その通り！④と⑤も同じように証明できるよ。

それでは性質を使って問題を解いていこう。

(1)\quad \log_2 48 - \log_2 3

これは対数の性質④「 $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ 」を逆に使う問題です。

対数の引き算は、真数の割り算に変換できます。

\log_2 48 - \log_2 3

= \log_2 \frac{48}{3}

= \log_2 16

= \log_2 2^4

= 4

最後の変形では、性質⑤「 $\log_a M^k = k \log_a M$ 」と②「 $\log_a a = 1$ 」を使って $\log_2 2^4 = 4 \log_2 2 = 4 \times 1 = 4$ としています。

対数の引き算を見たら「真数の割り算にする」と覚えておこう。

$\log_2 48$ を直接計算するのは大変だけど、 $\log_2 16 = 4$ は簡単だよね。

よって答えは $\underline{4}$ です。

(2)\quad \log_3 2 + \log_3 \frac{9}{2}

今度は対数の足し算ですね。性質③「 $\log_a MN = \log_a M + \log_a N$ 」を逆に使います。

対数の足し算は、真数の掛け算に変換できます。

\log_3 2 + \log_3 \frac{9}{2}

= \log_3 \left( 2 \times \frac{9}{2} \right)

= \log_3 9

= \log_3 3^2

= 2

$2$ と $\frac{9}{2}$ を掛けると $9$ になって、きれいに計算できるんですね！

そうだね。対数の性質を使うと、真数をまとめて簡単にできることが多いよ。

ポイントは「足し算 → 真数の掛け算」「引き算 → 真数の割り算」だよ。

よって答えは $\underline{2}$ です。

$(3)\quad \log_{10} 2 = 0.3010, \; \log_{10} 3 = 0.4771$ のとき、 $\log_{10} 12$ の値を求めよ。

常用対数（底が $10$ の対数）の計算だね。 $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ が与えられているから、 $12$ をこれらで表せばいいよ。

$12$ を素因数分解すると $12 = 2^2 \times 3$ です。

対数の性質③と⑤を使って分解しましょう。

\log_{10} 12

= \log_{10} (2^2 \times 3)

= \log_{10} 2^2 + \log_{10} 3

= 2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3

= 2 \times 0.3010 + 0.4771

= 0.6020 + 0.4771

= 1.0791

素因数分解して $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ だけで表すんですね！

その通り！常用対数の問題では、 $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ の値が与えられることが多いよ。

$\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ の値が分かれば、 $4=2^2$ や $6=2 \times 3$ 、 $12=2^2 \times 3$ のように素因数が $2$ と $3$ だけの数なら常用対数が計算できるんだ。

よって答えは $\underline{1.0791}$ です。

ちなみに、 $\log_{10} 12 \fallingdotseq 1.08$ ということは $10^{1.08} \fallingdotseq 12$ ということだよ。

つまり $12$ は $10^1 = 10$ より少し大きい数だということが分かるね。

底の変換公式というのもあると聞いたんですが...

底の変換公式は、底が異なる対数を統一するための公式だよ。

ここで学んだ性質は底が同じ対数同士の計算に使うもので、底の変換公式とは役割が違うんだ。

底の変換公式については別の問題で学習してね！

このページのまとめ

ここでは対数の基本性質について学習しました。

対数の足し算は真数の掛け算、引き算は真数の割り算に対応するという関係が最も大切です。

常用対数の計算でもこの性質が活躍するので、しっかりマスターしてくださいね！

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