対数を取るときは、底をどう選べばいいの？

累乗を対数に変換する問題では、指数・対数・三角関数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

対数の定義に直すのは、どんなとき？

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累乗を対数に変換する問題の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

累乗を対数に変換する問題の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

指数・対数・三角関数の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 累乗を対数に変換する問題
ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

$3^{x}=5^y=15^5$ のとき $\frac 1 x + \frac 1 y$ の値を求めよ。

答えを見る

\frac 1 x + \frac 1 y=\underline{\frac 1 5}

解説

累乗を対数に変換する問題を解説します。

指数に変数があるから対数を取ろうかな。

底は $3$ と $5$ と $15$ のどれにしよう？

いい考えだね。結論から言うと底は何でも上手くいくんだ。

底を $10$ としても上手くいくよ。

$\frac 1 x+\frac 1 y$ の値を求めるために、 $x$ と $y$ の値を求める必要があります。

そのようなときは対数を取ることにより、指数の文字を取り出しましょう。

はじめに底を $3$ として対数を取ってみよう。

対数を取るときは真数の部分が正であるかを確認し忘れないようにね。

$3^{x}=5^y=15^5$ の各項は正であるから、底が $3$ の対数を取ると $x=y\log_3 5=5\log_3{15}$ より

x=5\log_3{15}, \quad y=\frac{5\log_3 15}{\log_3 5}

よって、 $\frac 1 x + \frac 1 y =\frac{1}{5\log_3{15}}+\frac{\log_3 5}{5\log_3{15}}=\frac{\log_3 3+\log_3 5}{5\log_3 15}$ $=\frac{\log_3{15}}{5\log_3{15}}=\underline{\frac 1 5}$

対数の底を $5$ や $15$ としていても同じようになるんですか？

どちらを底として対数を取っても大丈夫だよ。でも、底が $15$ だと少し楽に計算できるんだ。やってみよう。

$3^{x}=5^y=15^5$ の各項は正であるから、底が $15$ の対数を取ると $x\log_{15}3=y\log_{15}5=5$

よって $x=\frac{5}{\log_{15}3},\quad y=\frac{5}{\log_{15}5}$

\frac 1 x + \frac 1 y =\frac{\log_{15}3}{5}+\frac{\log_{15}5}{5}=\frac{\log_{15}15}{5}=\underline{\frac 1 5}

確かに少し計算量が少ないですね！

この問題を見て「対数を取る」という発想がすぐに思いつくようになればバッチリだよ！

このページのまとめ

ここでは累乗を対数に変換する問題について解説しました。

指数に文字がある場合、それを直接扱うのは難しいので対数を取ることにより「指数を取り出して」考えるようにしましょう。

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