対数の定義に直すのは、どんなとき？

対数の定義では、指数・対数・三角関数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

底の変換公式は、どういう場面で使うの？

対数の定義では、指数・対数・三角関数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

対数の定義の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

指数・対数・三角関数の答えと条件を先に確認できます。

$\left(\frac {1} {49}\right)^{\displaystyle \log_7{\frac 2 3}}$ を簡単にせよ。

\underline{\frac 9 4}

対数の定義の問題について解説します。

この問題、どう考えるかな？

こういう問題苦手なんですよね。対数の定義から、 $a^{\displaystyle \log_a{b}}=b$ になることを利用して解きます。

実はこういう問題を一瞬で解く公式があるんだ。あとで紹介するね。

まずは対数の定義を利用して解く一般的な方法からみていきます。

次に示す対数の定義を利用して解く方法です。

\huge a^{ \log_a{b}}=b

$\left(\frac {1} {49}\right)^{\displaystyle \log_7{\frac 2 3}}$ を簡単にせよ。

$a^{\displaystyle \log_a{b}}=b$ を使いたいと考えたとき、指数の対数の底が $7$ であることに注目すると、 $\frac{1}{49}$ を $7$ のべき乗の形で表現すればいいですね。

$\frac{1}{49}=7^{-2}$ なので、 $(7^{-2})^{\log_7{\frac 2 3}} = 7^{\log_7{{(\frac 2 3)}^{-2}}}=\left(\frac 2 3\right )^{-2}=\underline{\frac 9 4}$

となります。

もちろんこの方法が基本的な解き方なんだけれど、少し時間がかかってしまうよね。

だから今から紹介する公式を使えるようになろう。

今回の例題をこの方法で解いてみます。

$\left(\frac {1} {49}\right)^{\displaystyle \log_7{\frac 2 3}}$ を簡単にせよ。

{a^{\log_bc}=c^{\log_ba}}より{\left(\frac 2 3\right) ^{\log_7{\frac{1}{49}}}=\left(\frac 2 3\right)^{-2}=\underline{\frac 9 4}}

はやっ。こんなに簡単に一瞬で求められるんですか？

うん。絶対に暗記して使いこなせるようになろう。

もちろん対数の定義を使った変形も理解した上で使ってね。

分かりました！

公式として使うぐらいだから証明しておくね。

$a^{\log_bc}=c^{\log_ba}$ において、真数条件より $c>0,a>0$ なので

両辺 $a$ を底とする対数を取ると $\log_bc=\underline{\log_ac} \cdot \log_ba$

下線部 $\log_ac$ は底の変換公式より $\frac{\log_bc}{\log_ba}$ とできるから

(左辺)=(右辺)となるので、 $a^{\log_bc}=c^{\log_ba}$ が成り立つ。

ぜひ覚えてね！

このページのまとめ

ここでは対数の定義の問題について解説しました。

最初は対数の定義や変換公式の扱い方などが難しく感じるかもしれませんが、問題を解いていくうちに慣れます。

たくさんの問題を解いて対数をマスターしてくださいね！

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