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指数・対数・三角関数

半角の公式

$\sin^2\frac{\alpha}{2}$, $\cos^2\frac{\alpha}{2}$, $\tan^2\frac{\alpha}{2}$

指数・対数・三角関数の「半角の公式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\sin^2\frac{\alpha}{2}$, $\cos^2\frac{\alpha}{2}$, $\tan^2\frac{\alpha}{2}$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約11分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

半角の公式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\sin^2\frac{\alpha}{2}$, $\cos^2\frac{\alpha}{2}$, $\tan^2\frac{\alpha}{2}$の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: sin⁡2α2\sin^2\frac{\alpha}{2}, cos⁡2α2\cos^2\frac{\alpha}{2}, tan⁡2α2\tan^2\frac{\alpha}{2}
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の値を求めよ。

(1)cos⁡22.5°(1)\quad \cos 22.5°
(2)sin⁡2π8(2)\quad \sin^2 \frac{\pi}{8}

答えを見る

(1)  (1)\; cos⁡22.5°=2+22‾\cos 22.5° = \underline{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}

(2)  (2)\; sin⁡2π8=2−24‾\sin^2 \frac{\pi}{8} = \underline{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}

解説

半角の公式の問題について解説します。

22.5°22.5°の三角比なんて、加法定理でも求められないですよね⋯\cdots

22.5°22.5°は45°45°の半分だよね。

こういうときは「半角の公式」を使うんだ！

半角の公式とは、角度α\alphaの三角比から、その半分の角度α2\frac{\alpha}{2}の三角比を求める公式です。

この公式は、2倍角の公式から導くことができます。

2倍角の公式から導けるんですか？

そうだよ。2倍角の公式を変形すると半角の公式が出てくるんだ。

まずは導出を見てみよう！

2倍角の公式のcos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alphaを変形すると、

2sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha
sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}

ここで、α\alphaをα2\frac{\alpha}{2}に置き換えると、

sin⁡2α2=1−cos⁡α2\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}

同様に、cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1から、

2cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha
cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}

α\alphaをα2\frac{\alpha}{2}に置き換えると、

cos⁡2α2=1+cos⁡α2\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}

公式の左辺が2乗の形になっているのはなぜですか？

いい質問だね！2倍角の公式を変形すると、自然とsin⁡2\sin^2やcos⁡2\cos^2の形になるからなんだ。

平方根を取ってsin⁡α2\sin\frac{\alpha}{2}やcos⁡α2\cos\frac{\alpha}{2}を求めるときは、符号に注意が必要だよ。

それでは実際に問題を解いていきましょう！

(1)cos⁡22.5°(1)\quad \cos 22.5°の値を求めよ。

22.5°=45°222.5° = \frac{45°}{2}なので、α=45°\alpha = 45°として半角の公式を使います。

cos⁡222.5°\cos^2 22.5°
=1+cos⁡45°2= \frac{1+\cos 45°}{2}
=1+222= \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}
=2+222= \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}
=2+24= \frac{2+\sqrt{2}}{4}

ここからcos⁡22.5°\cos 22.5°を求めるには、平方根を取る必要があるね。

符号はどうなるかな？

22.5°22.5°は第1象限だから、cos⁡22.5°>0\cos 22.5° > 0ですね！

その通り！角度がどの象限にあるかで符号が決まるんだ。

0°<22.5°<90°0° < 22.5° < 90°よりcos⁡22.5°>0\cos 22.5° > 0なので、

cos⁡22.5°=2+24\cos 22.5° = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}
=2+22= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

よって、cos⁡22.5°=2+22‾\cos 22.5° = \underline{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}

(2)sin⁡2π8(2)\quad \sin^2 \frac{\pi}{8}の値を求めよ。

π8=12⋅π4\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}なので、α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}として半角の公式を使います。

π4\frac{\pi}{4}は45°45°のことですよね。

そうだね！弧度法と度数法の変換に慣れておこう。

半角の公式sin⁡2α2=1−cos⁡α2\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}を使うと、

sin⁡2π8\sin^2 \frac{\pi}{8}
=1−cos⁡π42= \frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}
=1−222= \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}
=2−222= \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{2}
=2−24= \frac{2-\sqrt{2}}{4}

(2)(2)はsin⁡2\sin^2の値を聞かれているから、平方根を取る必要がないんですね！

よく気づいたね！問題をよく読んで、何を求めるのかを確認することが大切だよ。

よって、sin⁡2π8=2−24‾\sin^2 \frac{\pi}{8} = \underline{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}

このページのまとめ

ここでは半角の公式を使ってcos⁡22.5°\cos 22.5°とsin⁡2π8\sin^2 \frac{\pi}{8}を求めました。

半角の公式は2倍角の公式から導出できるので、忘れても自分で導けるようにしておきましょう。

平方根を取るときは、角度がどの象限にあるかで符号を判断することがポイントです！

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