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指数・対数・三角関数

一般角と三角関数

動径と象限

指数・対数・三角関数の「一般角と三角関数」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「動径と象限」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約12分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

一般角と三角関数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 動径と象限
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad 750°750°, −120°-120° の動径が属する象限をそれぞれ求めよ。

(2)(2)\quad sin⁡5π3\sin\frac{5\pi}{3}, cos⁡(−π4)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) の値をそれぞれ求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; 750°750° の動径は 第1象限‾\underline{\text{第1象限}}、−120°-120° の動径は 第3象限‾\underline{\text{第3象限}}

(2)  (2)\; sin⁡5π3=−32‾\sin\frac{5\pi}{3} = \underline{-\frac{\sqrt{3}}{2}}、cos⁡(−π4)=22‾\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}

解説

一般角と三角関数について解説します。

一般角ってなんですか？0°0°から360°360°じゃないんですか？

いい質問だね！数学Iでは0°0°から180°180°の範囲だったけど、数学IIではもっと広い角度を扱うんだ。

360°360°を超える角度や、負の角度も考えるんだよ。

まずは一般角の考え方を説明します。

反時計回りが正で、時計回りが負なんですね！

その通り！750°750°は反時計回りに750°750°、−120°-120°は時計回りに120°120°回転させた動径を表すんだ。

次に、動径がどの象限に属するかを考えましょう。

(1)(1)\quad 750°750°, −120°-120° の動径が属する象限をそれぞれ求めよ。

まずは750°750°から考えよう。750°750°は360°360°より大きいから、360°360°で割った余りを求めるよ。

750°=360°×2+30°750° = 360° \times 2 + 30°
=720°+30°= 720° + 30°

750°750°の動径は、360°360°を22周した後、さらに30°30°回転した位置にあります。

つまり30°30°の動径と同じ位置にあるので、第1象限‾\underline{\text{第1象限}}に属します。

なるほど！360°360°の何倍かを引けばいいんですね！

その調子！次は−120°-120°を考えよう。負の角度は時計回りに回転するんだったね。

−120°-120°は時計回りに120°120°回転するので、反時計回りで考えると360°−120°=240°360° - 120° = 240°と同じ位置になります。

−120°=−120°+360°-120° = -120° + 360°
=240°= 240°

240°240°は180°<240°<270°180° < 240° < 270°を満たすので、第3象限‾\underline{\text{第3象限}}に属します。

負の角度のときは360°360°を足して正の角度に直すと分かりやすいよ！

次に、三角関数の値を求める問題を解きましょう。

まずは単位円による三角関数の定義を確認します。

単位円上の点の座標が三角関数の値になるんですね！

そうなんだ！この定義を使えば、どんな角度でも三角関数の値を求められるよ。

実際に単位円を見てみよう。

P 60° 1/2 √3/2 x y 1 -1 1 -1
θ=60∘\theta = 60^\circ
P(12,32)P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
sin⁡θ=32\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}

なるほど！60°60°のとき、cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}、sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}が座標として表れていますね！

(2)(2)\quad sin⁡5π3\sin\frac{5\pi}{3}, cos⁡(−π4)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) の値をそれぞれ求めよ。

弧度法で表された角度だね。まず5π3\frac{5\pi}{3}がどこにあるか考えよう。

π=180°\pi = 180°だから、5π3=5×180°3=300°\frac{5\pi}{3} = \frac{5 \times 180°}{3} = 300°ですね！

その通り！300°300°は第4象限にあるね。360°−300°=60°360° - 300° = 60°だから、xx軸から60°60°の位置にあるんだ。

単位円で確認してみよう。

P 300° 1/2 -√3/2 x y 1 -1 1 -1
θ=300∘\theta = 300^\circ
P(12,−32)P\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
sin⁡θ=−32\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}

5π3\frac{5\pi}{3}（=300°= 300°）の動径は第4象限にあり、xx軸の正の部分から時計回りに60°60°の位置です。

第4象限ではsin⁡\sinは負、cos⁡\cosは正なので、

sin⁡5π3=−sin⁡60°\sin\frac{5\pi}{3} = -\sin 60°
=−32= -\frac{\sqrt{3}}{2}
=−32‾= \underline{-\frac{\sqrt{3}}{2}}

象限によって符号が変わるんですね！

その通り！次にcos⁡(−π4)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)を求めよう。

−π4-\frac{\pi}{4}は−45°-45°で、時計回りに45°45°回転した位置です。

これは第4象限にありますが、cos⁡\cosには重要な性質があります。

cos⁡\cosは偶関数だから、cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\thetaが成り立つんだ。

cos⁡(−π4)\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)
=cos⁡π4= \cos\frac{\pi}{4}
=cos⁡45°= \cos 45°
=22‾= \underline{\frac{\sqrt{2}}{2}}

cos⁡\cosは符号が変わらないんですね！覚えておきます！

よくできたね！単位円をイメージすると、cos⁡\cosはxx座標だから−θ-\thetaでも同じ値になることが分かるよ。

このページのまとめ

ここでは一般角と三角関数について学習しました。

一般角は360°360°を超える角度や負の角度を含み、動径の考え方で表します。

単位円を使えば、どんな角度でも三角関数の値を求められます。象限による符号の判定も忘れずに！

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