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指数・対数・三角関数

2倍角の公式

$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\tan 2\theta$

指数・対数・三角関数の「2倍角の公式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\tan 2\theta$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約17分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

2倍角の公式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$, $\tan 2\theta$の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: sin⁡2θ\sin 2\theta, cos⁡2θ\cos 2\theta, tan⁡2θ\tan 2\theta
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

θ\thetaは第2象限の角で、sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}のとき、次の値を求めよ。

(1)sin⁡2θ(1)\quad \sin 2\theta
(2)cos⁡2θ(2)\quad \cos 2\theta
(3)tan⁡2θ(3)\quad \tan 2\theta

答えを見る

(1)  (1)\; sin⁡2θ=−2425‾\sin 2\theta = \underline{-\frac{24}{25}}

(2)  (2)\; cos⁡2θ=725‾\cos 2\theta = \underline{\frac{7}{25}}

(3)  (3)\; tan⁡2θ=−247‾\tan 2\theta = \underline{-\frac{24}{7}}

解説

2倍角の公式について解説します。

2倍角の公式って何ですか？

加法定理でα=β\alpha = \betaとすると、sin⁡2α\sin 2\alphaやcos⁡2α\cos 2\alphaの公式が得られるんだ。

角度を2倍にしたときの三角関数の値を求める公式だよ！

まずは加法定理から2倍角の公式を導いてみましょう。

加法定理 sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta で β=α\beta = \alpha とすると、

sin⁡2α=sin⁡(α+α)\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha)
=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α= \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha
=2sin⁡αcos⁡α= 2\sin\alpha\cos\alpha

同様に、cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta で β=α\beta = \alpha とすると、

cos⁡2α=cos⁡(α+α)\cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha)
=cos⁡αcos⁡α−sin⁡αsin⁡α= \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha
=cos⁡2α−sin⁡2α= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

cos⁡2α\cos 2\alphaはさらに変形できます。sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1を使うと、

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
=cos⁡2α−(1−cos⁡2α)= \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha)
=2cos⁡2α−1= 2\cos^2\alpha - 1

あるいは、

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha
=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α= (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha
=1−2sin⁡2α= 1 - 2\sin^2\alpha

また、tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} で β=α\beta = \alpha とすると、

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

cos⁡2α\cos 2\alphaに3つの形がありますが、どう使い分けるんですか？

いい質問だね！使い分けのポイントはこうだよ。

cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alpha：sin⁡α\sin\alphaとcos⁡α\cos\alphaの両方がわかっているとき

2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1：cos⁡α\cos\alphaだけわかっているとき

1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha：sin⁡α\sin\alphaだけわかっているとき

さらに、cos⁡2α\cos 2\alphaの変形は逆方向にも使えるよ。

cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}、sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

これは「半角の公式」として知られていて、sin⁡2\sin^2やcos⁡2\cos^2を次数下げするときに使うんだ。

それでは問題を解いていきましょう！

θ\thetaは第2象限の角で、sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}のとき、次の値を求めよ。

(1)sin⁡2θ(1)\quad \sin 2\theta (2)cos⁡2θ(2)\quad \cos 2\theta (3)tan⁡2θ(3)\quad \tan 2\theta

まずはcos⁡θ\cos\thetaの値を求めておこう。θ\thetaは第2象限の角だから、cos⁡θ\cos\thetaの符号に注意してね！

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1より、

cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta
=1−(35)2= 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2
=1−925= 1 - \frac{9}{25}
=1625= \frac{16}{25}

θ\thetaは第2象限の角なのでcos⁡θ<0\cos\theta < 0です。よって、

cos⁡θ=−45\cos\theta = -\frac{4}{5}

また、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=35−45=−34\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}

(1)sin⁡2θ(1)\quad \sin 2\theta

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta に代入すると、

sin⁡2θ=2⋅35⋅(−45)\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)
=−2425‾= \underline{-\frac{24}{25}}

答えがマイナスになりました。合っていますか？

合っているよ！θ\thetaが第2象限だと2θ2\thetaは第3象限または第4象限になるから、sin⁡2θ\sin 2\thetaは負の値もとり得るんだ。

(2)cos⁡2θ(2)\quad \cos 2\theta

sin⁡θ\sin\thetaとcos⁡θ\cos\thetaの両方がわかっているので、どの形を使っても構いませんが、ここでは1−2sin⁡2θ1 - 2\sin^2\thetaを使ってみましょう。

cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta
=1−2⋅(35)2= 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2
=1−2⋅925= 1 - 2 \cdot \frac{9}{25}
=1−1825= 1 - \frac{18}{25}
=725‾= \underline{\frac{7}{25}}

確認としてcos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alphaの形でも計算してみよう。

cos⁡2θ=(−45)2−(35)2=1625−925=725\cos 2\theta = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} で一致するね！

(3)tan⁡2θ(3)\quad \tan 2\theta

tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} に tan⁡θ=−34\tan\theta = -\frac{3}{4} を代入すると、

tan⁡2θ=2⋅(−34)1−(−34)2\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2}
=−321−916= \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}}
=−32716= \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}
=−32×167= -\frac{3}{2} \times \frac{16}{7}
=−247‾= \underline{-\frac{24}{7}}

tan⁡2θ\tan 2\thetaはsin⁡2θcos⁡2θ\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}で求めてもいいですか？

もちろん！sin⁡2θcos⁡2θ=−2425725=−247\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7} で一致するね。

検算として使える便利な方法だよ！

このページのまとめ

ここでは2倍角の公式について学習しました。

2倍角の公式は加法定理から簡単に導けるので、導出方法をしっかり理解しておきましょう。

特にcos⁡2α\cos 2\alphaの3つの形の使い分けは入試でよく問われるので、マスターしてくださいね！

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