常用対数の応用

問題

$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$ とする。次の問いに答えよ。

$(1)\quad 3^{50}$ は何桁の整数か。

$(2)\quad 0.5^{20}$ は小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。

$(3)\quad 6^{30}$ は何桁の整数か。

解説

常用対数の応用問題について解説します。

常用対数ってどんなときに使うんですか？

常用対数とは底が $10$ の対数 $\log_{10}$ のことだよ。

大きな数の桁数を調べたり、小さな数の小数首位を調べたりするときにとても役立つんだ。

まずは桁数と常用対数の関係を確認しましょう。

なるほど。例えば $3$ 桁なら $100 \leqq N < 1000$ つまり $10^2 \leqq N < 10^3$ ということですね。

その通り！だから $\log_{10}N$ の値が分かれば、その整数部分から桁数がすぐ分かるんだ。

整数部分が $k$ なら、その数は $k+1$ 桁だよ。

次に、小数の場合の考え方も見ておきましょう。

なぜ $-k$ が出てくるんですか？

例えば $x = 0.005$ を考えてみよう。これは小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるね。

$0.001 \leqq 0.005 < 0.01$ つまり $10^{-3} \leqq x < 10^{-2}$ だから、$\log_{10}x$ は $-3$ 以上 $-2$ 未満になるんだ。

それではこの考え方を使って問題を解いていきましょう！

桁数を求めるには、$\log_{10}3^{50}$ を計算して整数部分を調べよう。

$23 \leqq 23.855 < 24$ なので、$10^{23} \leqq 3^{50} < 10^{24}$ が成り立ちます。

よって $3^{50}$ は $\underline{24}$ 桁の整数です。

$\log_{10}N$ の整数部分が $23$ だから、桁数は $23+1=24$ 桁だね。

$0.5^{20}$ はとても小さい数ですよね。どうやって求めるんですか？

まずは $0.5$ を分数で表して常用対数を取ろう。$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ だね。

$-7 \leqq -6.02 < -6$ なので、$10^{-7} \leqq 0.5^{20} < 10^{-6}$ が成り立ちます。

あれ？$-6.02$ は $-7$ と $-6$ の間にあるんですね。

そう！ここで注意が必要だよ。$-6.02$ の整数部分は $-7$ だからね。

$-7 \leqq -6.02 < -6$ ということは、小数第 $7$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるということだよ。

よって、$0.5^{20}$ は小数第 $\underline{7}$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。

小数首位の問題では、負の数の整数部分に注意しよう。$-6.02$ の整数部分は $-6$ ではなく $-7$ だよ！

$6$ の常用対数が直接与えられていないですね...。

いいところに気づいたね。$6 = 2 \times 3$ と分解して、対数の性質を使おう！

$23 \leqq 23.343 < 24$ なので、$10^{23} \leqq 6^{30} < 10^{24}$ が成り立ちます。

よって $6^{30}$ は $\underline{24}$ 桁の整数です。

対数の性質 $\log_{10}ab = \log_{10}a + \log_{10}b$ を使えば、与えられた値から色々な数の対数を計算できるよ。

ここでは常用対数の応用について学習しました。

桁数の問題では $\log_{10}N$ の整数部分に $1$ を足すこと、小数首位の問題では負の対数値の整数部分に注意することがポイントです。

$\log_{10}2$ や $\log_{10}3$ の値を使って様々な数の対数を求められるように練習しましょう！