累乗𝑎ⁿの桁数

桁数を求める問題では、対数を取ろう。常用対数(底が$10$)を取ることが多いよ。

簡単に説明していくね。例えばだけど、「$343$」という数字は何桁かな？

その通り。この$343$という数字の常用対数を取ってみよう。

$343$は$7^3$だから、$\log_{10}7^3=3\log_{10}7$となるよね。ここまでは理解できているかな？

$\log_{10}7$の値を$0.8451$としておこう。そうすると$3\log_{10}7=\underline{2.5353}$となるよね。常用対数を取った値が$2.5353$ということは、$10^{\displaystyle 2.5353}=343$ということだよ。

その通り。$10^{\displaystyle 2.5353}$の指数に注目してみると、$2.5353$は$2$と$3$の間にあるから$10^2<10^{\displaystyle 2.5353}<10^3$となるね。

$10^2=100$が$3$桁、$10^3=1000$が$4$桁だから$10^{\displaystyle 2.5353}$は$3$桁となることが分かるね。ここまでをまとめてみよう。

$\log_{10}2$の値が問題文で与えられているのも対数を取る発想が浮かぶキッカケになるね。

1の位や最高位の数字を求める問題も頻出で、その解法も決まっているよ。解説していくね。

まずは1の位の数字から求めてみよう。1の位の数字の求め方は簡単だよ。次の性質を使うんだ。

ところで、$(1)$で$8^{ 100}$を$10^{ n}$の形で表現したよね。

$10^{\displaystyle 90.3}$の指数に注目して欲しいんだ。

$90.3$を整数部分と小数部分で分けると$10^{\displaystyle 0.3}\times 10^{\displaystyle 90}$だよね。

なにか分からないかな？

その通り。「$10^{\displaystyle 90.3}$の最高位の数字を求めよ」というのは「$10^{\displaystyle 0.3}$の値を求めてね」という意味とも言えるね。

計算機で解くと$10^{\displaystyle 0.3}$は大体$1.99$だから、$10^{\displaystyle 90.3}=10^{\displaystyle 0.3}\times 10^{\displaystyle 90}=1.99 \times 10^{\displaystyle 90}$と表せて最高位の数字は$1$と分かるよね。

実際には計算機は使えないから、$10^{\displaystyle 0.3}$の大体の値を考えていくよ。ここまでをまとめてみよう。