底の変換公式

問題

$(1)\quad \log_4 8$の値を求めよ。

$(2)\quad \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$の値を求めよ。

解説

底の変換公式を使った対数の問題について解説します。

$\log_4 8$って、底が$4$で真数が$8$ですよね。$4$を何乗したら$8$になるかすぐには分からないんですが...

いい着眼点だね。$4$と$8$はどちらも$2$のべき乗で表せるから、底を$2$に統一できれば計算しやすくなるよ。

そのために使うのが「底の変換公式」だよ！

まずは底の変換公式を確認しましょう。

この公式はどうやって証明するんですか？

簡単に証明できるよ。$\log_a b = x$とおくところから始めよう。

底の変換公式の証明を見てみましょう。

なるほど、両辺の対数を取るんですね！

この公式を使えば、どんな底の対数も好きな底に変換できるんだ。

特に底を$10$（常用対数）や$e$（自然対数）に揃えることが多いよ。

それでは問題を解いていきましょう。

$4$と$8$は両方とも$2$のべき乗で表せるから、底を$2$に変換してみよう。

底の変換公式を用いて、底を$2$に統一します。

よって、$\log_4 8 = \underline{\frac{3}{2}}$となります。

底を$2$に揃えたら、$\log_2 2^n = n$が使えて簡単に計算できますね！

その通り！底と真数が同じ数のべき乗で表せるときは、その数を底に選ぶのがコツだよ。

対数の掛け算ですか。どう計算すればいいんですか？

対数の連鎖になっているね。底の変換公式を使うと、きれいに約分できるんだ。

底の変換公式を使って、すべての対数を底$2$に統一してみましょう。

あ、分母と分子が約分されて$\log_2 8$だけが残りましたね！

これは偶然じゃないんだ。実は、このような連鎖した対数の積には便利な公式があるよ。

この公式を使えば、$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8 = \log_2 4 \cdot \log_4 8 = \log_2 8 = \underline{3}$と簡潔に計算できます。

もう一つ覚えておくと便利な公式があるよ。

底と真数を入れ替えた対数を掛けると$1$になるんですね！

その通り！この公式も底の変換公式から簡単に導けるよ。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$、$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$だから、掛けると$1$になるね。

ここでは底の変換公式$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$について学習しました。

底を統一することで複雑な対数の計算がシンプルになります。

連鎖公式$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$や逆数公式$\log_a b \cdot \log_b a = 1$も合わせて覚えておきましょう！