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指数・対数・三角関数

加法定理

$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$, $\tan(\alpha+\beta)$

指数・対数・三角関数の「加法定理」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$, $\tan(\alpha+\beta)$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約19分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

加法定理の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta), cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta), tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta)
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
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問題

次の値を求めよ。

(1)sin⁡75°(1)\quad \sin 75°
(2)cos⁡15°(2)\quad \cos 15°
(3)tan⁡105°(3)\quad \tan 105°

答えを見る

(1)  (1)\; sin⁡75°=6+24‾\sin 75° = \underline{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}

(2)  (2)\; cos⁡15°=6+24‾\cos 15° = \underline{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}

(3)  (3)\; tan⁡105°=−(2+3)‾\tan 105° = \underline{-(2+\sqrt{3})}

解説

加法定理の問題について解説します。

加法定理は三角関数の中でも最も重要な公式の一つです。2倍角の公式、半角の公式、和積・積和の公式など、多くの公式がこの加法定理から導かれます。

加法定理ってどんな公式ですか？

2つの角度の和や差の三角関数を、それぞれの角度の三角関数で表す公式だよ。

まずは公式を見てみよう！

公式が多くて覚えるのが大変そうです⋯\cdots

実は覚えるコツがあるんだ。ポイントを教えるね！

加法定理を覚えるポイントを整理します。

  • sin⁡\sinの加法定理：「sin⁡cos⁡\sin \cos」+「cos⁡sin⁡\cos \sin」のように、sin⁡\sinとcos⁡\cosが交互に現れる
  • cos⁡\cosの加法定理：「cos⁡cos⁡\cos \cos」-「sin⁡sin⁡\sin \sin」のように、同じ関数の積になる
  • sin⁡\sinの加法定理の符号は、角の和・差の符号とそのまま一致する
  • cos⁡\cosの加法定理の符号は、角の和・差の符号と逆になる

tan⁡\tanの加法定理は、sin⁡\sinとcos⁡\cosの加法定理から導けるので、まずはsin⁡\sinとcos⁡\cosをしっかり覚えよう！

それでは、問題を解いていきましょう。

(1)sin⁡75°(1)\quad \sin 75°の値を求めよ。

75°75°を、三角比の値が分かっている角度の和で表します。75°=45°+30°75° = 45° + 30°と分解できますね。

45°45°と30°30°の三角比は知ってます！

その通り！sin⁡\sinの加法定理を使って計算してみよう。

sin⁡\sinの加法定理 sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta において、α=45°\alpha = 45°, β=30°\beta = 30°とすると、

sin⁡75°\sin 75°
=sin⁡(45°+30°)= \sin(45° + 30°)
=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°= \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°
=22⋅32+22⋅12= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}
=64+24= \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}
=6+24‾= \underline{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}

(2)cos⁡15°(2)\quad \cos 15°の値を求めよ。

15°15°を角度の差で表します。15°=45°−30°15° = 45° - 30°と分解できますね。

cos⁡\cosの加法定理 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta において、α=45°\alpha = 45°, β=30°\beta = 30°とすると、

cos⁡15°\cos 15°
=cos⁡(45°−30°)= \cos(45° - 30°)
=cos⁡45°cos⁡30°+sin⁡45°sin⁡30°= \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°
=22⋅32+22⋅12= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}
=64+24= \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}
=6+24‾= \underline{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}

(1)(1)のsin⁡75°\sin 75°と(2)(2)のcos⁡15°\cos 15°の答えが同じになりました！

いい気付きだね！sin⁡75°=sin⁡(90°−15°)=cos⁡15°\sin 75° = \sin(90° - 15°) = \cos 15°なので、余角の関係から同じ値になるんだよ。

(3)tan⁡105°(3)\quad \tan 105°の値を求めよ。

105°=60°+45°105° = 60° + 45°と分解して、tan⁡\tanの加法定理を使います。

tan⁡105°\tan 105°
=tan⁡(60°+45°)= \tan(60° + 45°)
=tan⁡60°+tan⁡45°1−tan⁡60°tan⁡45°= \dfrac{\tan 60° + \tan 45°}{1 - \tan 60°\tan 45°}
=3+11−3⋅1= \dfrac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}
=3+11−3= \dfrac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}

分母を有理化します。分母・分子に(1+3)(1 + \sqrt{3})を掛けると、

=(3+1)(1+3)(1−3)(1+3)= \dfrac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
=(3+1)21−3= \dfrac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3}
=3+23+1−2= \dfrac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{-2}
=4+23−2= \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}
=−(2+3)‾= \underline{-(2 + \sqrt{3})}

105°105°は第2象限の角度だからtan⁡\tanの値は負になるね。答えの符号がマイナスなのは正しいよ！

分母の有理化がポイントですね！

そうだね。tan⁡\tanの加法定理は分数の形になるから、有理化が必要になることが多いよ。

最後に、加法定理の証明（cos⁡\cosの加法定理）を簡単に紹介するね。

加法定理の証明は、単位円上の2点間の距離を利用します。

P √2/2 √2/2 x y 1 -1 1 -1
θ=45∘\theta = 45^\circ
P(22,22)P\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
sin⁡θ=22\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡θ=22\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}

単位円上に角度α\alphaの点P(cos⁡α, sin⁡α)\mathrm{P}(\cos\alpha,\, \sin\alpha)と角度β\betaの点Q(cos⁡β, sin⁡β)\mathrm{Q}(\cos\beta,\, \sin\beta)をとります。

2点PQ間の距離の2乗を計算すると、

PQ2\mathrm{PQ}^2
=(cos⁡α−cos⁡β)2+(sin⁡α−sin⁡β)2= (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2
=cos⁡2α−2cos⁡αcos⁡β+cos⁡2β+sin⁡2α−2sin⁡αsin⁡β+sin⁡2β= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta
=(cos⁡2α+sin⁡2α)+(cos⁡2β+sin⁡2β)−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)
=2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)⋯(1)= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \quad \cdots (1)

一方、PQ間の距離は、中心角α−β\alpha - \betaに対する弦の長さとも見なせるので、点A(1,0)\mathrm{A}(1, 0)と角度(α−β)(\alpha - \beta)の点R(cos⁡(α−β), sin⁡(α−β))\mathrm{R}(\cos(\alpha-\beta),\, \sin(\alpha-\beta))の距離と等しくなります。

AR2\mathrm{AR}^2
=(cos⁡(α−β)−1)2+sin⁡2(α−β)= (\cos(\alpha - \beta) - 1)^2 + \sin^2(\alpha - \beta)
=cos⁡2(α−β)−2cos⁡(α−β)+1+sin⁡2(α−β)= \cos^2(\alpha - \beta) - 2\cos(\alpha - \beta) + 1 + \sin^2(\alpha - \beta)
=2−2cos⁡(α−β)⋯(2)= 2 - 2\cos(\alpha - \beta) \quad \cdots (2)

PQ=AR\mathrm{PQ} = \mathrm{AR}よりPQ2=AR2\mathrm{PQ}^2 = \mathrm{AR}^2なので、①と②から、

2−2(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)=2−2cos⁡(α−β)2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)
cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

これでcos⁡\cosの加法定理（差の公式）が証明できました。

なるほど！cos⁡\cosの差の公式から他の公式も導けるんですか？

そうだよ！cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta)のβ\betaに−β-\betaを代入すればcos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta)が出てくるし、sin⁡θ=cos⁡(90°−θ)\sin\theta = \cos(90° - \theta)を使えばsin⁡\sinの加法定理も導けるよ。

このページのまとめ

ここでは加法定理の問題について学習しました。

加法定理は三角関数の最重要公式であり、2倍角の公式や半角の公式、和積・積和公式など多くの公式の基礎になっています。

まずはsin⁡\sinとcos⁡\cosの加法定理を確実に覚え、tan⁡\tanはsin⁡\sinとcos⁡\cosから導けるようにしておきましょう。

入試では非常に頻出なので、ぜひマスターしてくださいね！

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