接線の方程式

問題

$(1)\quad$ 曲線$y=x^3-3x$上の点$(2, 2)$における接線の方程式を求めよ。

$(2)\quad$ 点$(0, -4)$から曲線$y=x^2$に引いた接線の方程式を求めよ。

解説

接線の方程式を求める問題について解説します。

接線の方程式は、微分で求めた傾きと接点の座標を使って立式します。問題には大きく分けて2つのパターンがあります。

• 曲線上の点における接線を求めるパターン

• 曲線外の点から接線を引くパターン

まずは接線の方程式の公式を確認しましょう。

この公式はどういう意味ですか？

$f'(a)$は$x=a$における接線の傾きを表しているんだ。

つまり、点$(a, f(a))$を通り、傾きが$f'(a)$の直線を求めているだけだよ。

それでは各問題を解いていきましょう。

これは曲線上の点が与えられているパターンだね。公式にそのまま当てはめていこう！

$f(x) = x^3 - 3x$とおくと、微分して

接点の$x$座標は$2$なので、接線の傾きは

よって、点$(2, 2)$を通り傾き$9$の直線は

公式に当てはめるだけなので、思ったより簡単ですね！

そうだね。ただし、与えられた点が本当に曲線上にあるか確認する癖をつけておこう。

$f(2) = 8 - 6 = 2$だから、確かに点$(2, 2)$は曲線上にあるね。

点$(0, -4)$は曲線$y=x^2$上にないですよね？ さっきと同じようにはできないんですか？

いいところに気がついたね！ $f(0) = 0 \neq -4$ だから、$(0, -4)$は曲線上の点ではないんだ。

こういうときは、接点の$x$座標を$t$とおいて考えるよ。

$f(x) = x^2$より$f'(x) = 2x$なので、接点を$(t, t^2)$とおくと接線の方程式は

この接線が点$(0, -4)$を通るので、$(1)$に$x=0, y=-4$を代入すると

$t$の値が2つ求まったね。それぞれについて接線の方程式を求めよう。

$t = 2$のとき：$(1)$より $y = 4x - 4$

$t = -2$のとき：$(1)$より $y = -4x - 4$

よって、求める接線の方程式は$\underline{y = 4x - 4}$と$\underline{y = -4x - 4}$です。

なるほど！ 曲線外の点からは接線が2本引けることもあるんですね。

その通り！ グラフを見ると、放物線$y=x^2$の左右対称性から2本の接線が引けているのが分かるね。

曲線外の点からの接線の本数は、$t$の方程式の解の個数で決まるんだ。

ここで2つのパターンの違いを整理しておこう。

• 曲線上の点 → 公式$y - f(a) = f'(a)(x - a)$にそのまま代入

• 曲線外の点 → 接点を$(t, f(t))$とおき、接線が通る条件から$t$を求める

問題文を読んで、「曲線上の点」なのか「曲線外の点」なのかを見極めることが大切だよ。

「上の点における接線」と書いてあれば曲線上の点、「点から引いた接線」と書いてあれば曲線外の点と考えよう！

ここでは接線の方程式について学習しました。

曲線上の点における接線は公式に代入するだけですが、曲線外の点からの接線は接点を$t$とおく方法が重要です。

どちらのパターンもよく出題されるので、しっかり使い分けられるようにしましょう！