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微分

微分係数と導関数

平均変化率と微分の基本公式

微分の「微分係数と導関数」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「平均変化率と微分の基本公式」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約14分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

微分係数と導関数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 平均変化率と微分の基本公式
  • ポイント: 微分の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad 関数 f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x について、xx が 11 から 44 まで変化するときの平均変化率を求めよ。

(2)(2)\quad 関数 f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x について、x=2x=2 における微分係数 f′(2)f'(2) を定義に従って求めよ。

(3)(3)\quad 次の関数を微分せよ。

(i)    y=4x3−2x2+5x−1\quad (\mathrm{i})\;\; y=4x^3-2x^2+5x-1
(ii)    y=−3x4+6x2\quad (\mathrm{ii})\;\; y=-3x^4+6x^2

答えを見る

(1)  (1)\; 2‾\underline{2}

(2)  (2)\; f′(2)=1‾\underline{f'(2)=1}

(3)  (3)\; (i)    y′=12x2−4x+5‾(\mathrm{i})\;\; \underline{y'=12x^2-4x+5}

    (ii)    y′=−12x3+12x‾\quad\;\; (\mathrm{ii})\;\; \underline{y'=-12x^3+12x}

解説

微分係数と導関数について、基本から順を追って解説します。

微分係数って何ですか？導関数との違いがよく分かりません。

いい質問だね！微分の理解にとても大切なところだよ。

まずは「平均変化率」から順番に説明していくね。

平均変化率とは、関数の値がどれくらいの割合で変化しているかを表すものです。

グラフ上では、2点 (a,  f(a))(a,\;f(a)) と (b,  f(b))(b,\;f(b)) を結ぶ直線の傾きに対応します。

(1, -2) (4, 4) -1 0 1 2 3 4 5 -2 2 4

上のグラフは f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x だよ。平均変化率は、グラフ上の2点を結んだ直線の傾きのことなんだ。

次に、この平均変化率の考え方を発展させると「微分係数」が得られます。

平均変化率と微分係数ってどう違うんですか？

平均変化率は、2点間の「平均的な傾き」だったよね。

微分係数は、2点の間隔を限りなく 00 に近づけたもので、ある1点での「瞬間的な傾き」、つまり接線の傾きになるんだ。

それでは問題を解いていきましょう！

(1)(1)\quad 関数 f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x について、xx が 11 から 44 まで変化するときの平均変化率を求めよ。

平均変化率の公式 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} に a=1a=1, b=4b=4 を代入します。

f(1)=12−3⋅1=1−3=−2f(1)=1^2-3\cdot 1=1-3=-2
f(4)=42−3⋅4=16−12=4f(4)=4^2-3\cdot 4=16-12=4

よって平均変化率は

f(4)−f(1)4−1=4−(−2)3=63=2‾\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{4-(-2)}{3}=\dfrac{6}{3}=\underline{2}

平均変化率の計算はそこまで難しくないね。公式に当てはめるだけだよ！

(2)(2)\quad 関数 f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x について、x=2x=2 における微分係数 f′(2)f'(2) を定義に従って求めよ。

「定義に従って」と書いてあるから、f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} の式を使って計算しよう。

まず f(2+h)f(2+h) を計算します。

f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)f(2+h)=(2+h)^2-3(2+h)
=4+4h+h2−6−3h=4+4h+h^2-6-3h
=h2+h−2=h^2+h-2

f(2)=22−3⋅2=4−6=−2f(2)=2^2-3\cdot 2=4-6=-2 なので、

f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}
=lim⁡h→0(h2+h−2)−(−2)h=\lim_{h \to 0}\frac{(h^2+h-2)-(-2)}{h}
=lim⁡h→0h2+hh=\lim_{h \to 0}\frac{h^2+h}{h}
=lim⁡h→0h(h+1)h=\lim_{h \to 0}\frac{h(h+1)}{h}
=lim⁡h→0(h+1)=1‾=\lim_{h \to 0}(h+1)=\underline{1}

分母の hh で約分するんですね！

そうだね！h→0h \to 0 だけど h≠0h \neq 0 だから約分できるんだ。

このように定義に従って微分係数を求める方法は大切だから、しっかり練習しておこう。

ところで、(2)(2)のように定義に従って毎回微分係数を求めるのはとても大変ですよね。

そこで、微分の計算を簡単にするための「導関数」と「微分の公式」を学びましょう。

微分係数と導関数って何が違うんですか？

微分係数 f′(a)f'(a) は「特定の点 x=ax=a での値」で、数値が1つ決まるよ。

導関数 f′(x)f'(x) は「xx を変数のままにした関数」で、任意の xx での微分係数を求められるんだ。

つまり、導関数に x=ax=a を代入すれば微分係数 f′(a)f'(a) が得られるんだよ。

それでは公式を使って問題を解いていきましょう。

(3)  (i)y=4x3−2x2+5x−1(3)\;(\mathrm{i})\quad y=4x^3-2x^2+5x-1 を微分せよ。

各項を微分して足し合わせます。

y′=(4x3)′−(2x2)′+(5x)′−(1)′y'=(4x^3)'-(2x^2)'+(5x)'-(1)'
=4⋅3x2−2⋅2x+5⋅1−0=4\cdot 3x^2-2\cdot 2x+5\cdot 1-0
=12x2−4x+5‾=\underline{12x^2-4x+5}

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} の公式を各項に使うだけだね。定数 −1-1 の微分は 00 になることも忘れずに！

(3)  (ii)y=−3x4+6x2(3)\;(\mathrm{ii})\quad y=-3x^4+6x^2 を微分せよ。

y′=(−3x4)′+(6x2)′y'=(-3x^4)'+(6x^2)'
=−3⋅4x3+6⋅2x=-3\cdot 4x^3+6\cdot 2x
=−12x3+12x‾=\underline{-12x^3+12x}

公式を使えば簡単に微分できますね！

その通り！定義から毎回計算するのは大変だけど、公式を使えば一瞬だよね。

ちなみに、(3)  (i)(3)\;(\mathrm{i}) で求めた導関数 y′=12x2−4x+5y'=12x^2-4x+5 に x=2x=2 を代入すると y′=12⋅4−4⋅2+5=48−8+5=45y'=12\cdot 4-4\cdot 2+5=48-8+5=45 となって、x=2x=2 での微分係数が求まるんだ。

このページのまとめ

ここでは微分係数と導関数について学習しました。

平均変化率 → 微分係数（極限）→ 導関数（公式）という流れを理解することが大切です。

公式 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} は微分の基本中の基本なので、たくさん問題を解いてマスターしてくださいね！

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