極限

問題

極限値$\lim_{h→0}\frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h}$を$f'(a)$を用いて表せ。

解説

極限の問題を解説します。

問題文の意味がよく分かりません。

少し分かりづらいよね。ところで、微分係数の定義を覚えているかな？

通常は微分係数を求めるためにこの極限を考えるけど、逆に微分係数を使って極限を表すこともできるんだ。

もちろん微分係数が存在しないときは極限も表現できないことに注意してね。

なるほど。具体的にはどのように問題を解いていけばいいですか？

$\lim_{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$を使うために式を変形していくんだ。

ちなみに、$\lim_{h \to 0} \frac {f(a+\textcolor{red}{h})-f(a)}{\textcolor{red}{h}}=f'(a)$の$h$の部分は揃っていれば$2h$でも$3h$でもいいことに注意してね。たとえば次のような式が成り立つよ。

それでは、実際に問題を見ていきましょう。

まずはどうすれば$\lim_{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$の形に持っていけるかを考えていこう。

うーん。なんか形は似てるんですけど絶妙に違うんですよね。

確かにここは思い浮かばないかもしれないね。変形の仕方を見れば納得できると思うから先に答えを教えるね。

$\lim_{h→0}\frac{f(a+3h)\textcolor{red}{-f(a)+f(a)}-f(a-2h)}{h}$と変形します。

分子で$f(a)$を引いたあと$f(a)$を足すことによって辻褄を合わせるんだ。

こんな変形思いつけますか？

$\frac {f(a+h)\textcolor{red}{-f(a)}}{h}$の形を作りたいと考えると、${\frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h}}の分子には\textcolor{red}{-f(a)}$に相当する部分が無いから自分で追加してあげる必要があるんだ。よくある変形だから、覚えておくといいよ。

$\lim_{h→0}\frac{f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-2h)}{h}$より$\lim_{h→0}\left \{\frac{f(a\textcolor{red}{+3h})-f(a)}{\textcolor{red}{h}}-\frac{f(a\textcolor{red}{-2h})-f(a)}{\textcolor{red}{h}}\right \}$とできます。

$\textcolor{red}{赤字}$部分である分母と分子の$h$の部分を揃えることを考えて、$\lim_{h→0}\left \{\frac{f(a\textcolor{red}{+3h})-f(a)}{\textcolor{red}{3h}}\times 3-\frac{f(a\textcolor{red}{-2h})-f(a)}{\textcolor{red}{-2h}} \times (-2)\right \}$$=f'(a)\times 3 -f'(a) \times (-2)=\underline{5f'(a)}$ となります。

この問題は初見で解くのは難しいかもしれないけれど、ここでしっかりと考え方を理解していつでも確実に解けるようになろう！

ここでは極限の問題について解説しました。

初めのうちは式変形が難しいと思いますが、さまざまな問題を解いてマスターしてくださいね！