平均変化率

問題

関数 $f(x)=x^2$ について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ $x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

$(2)\quad$ $x$ が $1$ から $1+h$ まで変化するときの平均変化率を求め、$h \to 0$ としたときの極限値を求めよ。

解説

平均変化率の問題について解説します。

平均変化率ってなんですか？

関数の値がどれくらいの割合で変化しているかを表すものだよ。

まずは定義を確認しよう！

これは何を意味しているんですか？

グラフで見ると分かりやすいよ。

平均変化率は、2点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線の傾きなんだ。

たとえば $f(x)=x^2$ のグラフを考えましょう。$x$ が $1$ から $3$ まで変化するとき、グラフ上の2点 $(1, 1)$ と $(3, 9)$ を結ぶ直線の傾きが平均変化率です。

この放物線上の2点 $(1, 1)$ と $(3, 9)$ を結ぶ直線の傾きは、

となり、これが平均変化率です。

それでは、問題を解いていきましょう！

定義に当てはめて計算してみよう。$a=1$, $b=3$ だね。

代入するだけなので簡単ですね！

そうだね！次の$(2)$が大事なポイントだよ。

今度は $a=1$, $b=1+h$ として平均変化率を計算してみよう。

$h$ は変化の幅を表しているよ。

よって、平均変化率は $\underline{2+h}$ です。

ここで $h \to 0$ の極限を考えてみよう。

$h \to 0$ とは、2点の間隔をどんどん狭くすることを意味するよ。

$h$ を $0$ に近づけると $2$ になるんですね。これは何を意味しているんですか？

すごくいい質問だね！

2点を結ぶ直線の傾き（平均変化率）で、2点をどんどん近づけていくと、最終的にある1点における接線の傾きになるんだ。

この値を$\textcolor{red}{微分係数}$と呼び、$f'(a)$ と書くよ。

今回の問題では $a=1$ のとき $f'(1)=2$ となりました。

これは $y=x^2$ のグラフの $x=1$ における接線の傾きが $2$ であることを意味しています。

平均変化率から微分係数が出てくるんですね！つながりがよく分かりました。

その通り！平均変化率は微分の出発点なんだ。

計算自体は代入するだけだから、定義と意味をしっかり理解しておこうね。

ここでは平均変化率について学習しました。

平均変化率 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ は2点を結ぶ直線の傾きであり、$b \to a$ の極限として微分係数 $f'(a)$ が得られます。

微分を学ぶうえでの土台となる考え方なので、しっかり押さえておきましょう！