高次方程式の実数解の個数

問題

$x^3-3x+a=0$が異なる3つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ。

解説

高次方程式の実数解の個数について解説します。

3次方程式の解の個数ってどうやって調べるんですか？

いい質問だね！グラフを使って考えるのがポイントだよ。

方程式の解は、関数のグラフと直線の交点として捉えることができるんだ。

まず、この方程式を変形してみよう。

$x^3-3x+a=0$を$x^3-3x=-a$と変形するよ。

つまり、$y=x^3-3x$と$y=-a$の交点を考えるんですね！

その通り！$y=-a$は$x$軸に平行な直線だから、

$y=x^3-3x$のグラフとどこで交わるかを調べれば解の個数がわかるね。

まず、$f(x)=x^3-3x$のグラフの概形を調べます。

$f(x)$を微分すると、

$f'(x)=0$とおくと、$x=-1, 1$

増減表を作ると、次のようになります。

極大値が$2$、極小値が$-2$だとわかったね。

これがとても重要だよ！

グラフは$x=-1$で山、$x=1$で谷になるんですね。

さて、$y=x^3-3x$のグラフと直線$y=-a$が異なる3点で交わるための条件を考えます。

グラフの極大値は$2$、極小値は$-2$なので、

直線$y=-a$がグラフと3点で交わるのは、直線が極大値と極小値の間を通るときです。

つまり、

各辺に$-1$をかけて（不等号の向きが逆転）、

なるほど！極値を使って範囲が決まるんですね！

そうだね。極大値・極小値の間に直線があれば3つの交点ができる。

極値と一致すると重解が生じて、異なる3つの解にはならないから等号は含まないよ。

よって、$x^3-3x+a=0$が異なる3つの実数解をもつような$a$の値の範囲は$\underline{-2<a<2}$です。

ちなみに、$a=2$のときは$x=-1$で重解、$a=-2$のときは$x=1$で重解になるよ。

境界の値が何を意味するか確認しておくといいね！

ここでは高次方程式の実数解の個数をグラフを使って調べる方法を学習しました。

方程式$f(x)=k$の解の個数は、$y=f(x)$と$y=k$の交点の個数と考えることがポイントです。

極値を求めてグラフの概形を把握することで、解の個数の条件を見つけることができます。