4次関数のグラフ

問題

4次関数$f(x) = x^4 - 2x^2$について、以下の問いに答えよ。

$(1)\quad$ $f(x)$が偶関数であることを示せ。

$(2)\quad$ $f(x)$の増減を調べ、極値を求めよ。

$(3)\quad$ $y = f(x)$のグラフの概形を描け。

解説

4次関数のグラフについて解説します。

4次関数のグラフって、3次関数より難しそうです...

実は、偶関数の性質を理解すれば、半分の計算で済むんだ。

一緒に見ていこう！

$f(-x) = f(x)$ってどういう意味ですか？

$x$に$-x$を代入しても、もとの関数と同じになるということだよ。

たとえば$x^2$や$x^4$は偶関数だね。

それでは問題を解いていきましょう。

$f(-x)$を計算して、$f(x)$と等しくなることを示せばいいね。

よって、$f(x)$は偶関数である。

$(-x)^4 = x^4$になるんですね！

その通り！偶数乗すると$(-1)$が消えるから、偶数次の項だけの関数は偶関数になるんだ。

この性質を覚えておこう。

増減を調べるために、まず導関数$f'(x)$を求めます。

$f'(x) = 0$となる$x$の値を求めよう。

$f'(x) = 0$とすると、$4x(x+1)(x-1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 1$

増減表を作ってみよう。偶関数だから、$x \geqq 0$の部分だけ調べれば十分だよ。

増減表は以下のようになります。

極値を求めます。

• $x = 0$で極大：$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 = \underline{0}$

• $x = \pm 1$で極小：$f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = \underline{-1}$

$f(-1)$と$f(1)$が同じ値になるのは偶関数だからですね！

その通り！偶関数では、$x = a$と$x = -a$の関数値は必ず等しくなるんだ。

グラフを描くためのポイントを整理します。

• 偶関数なので、$y$軸に関して対称

• 極大値：$(0, 0)$

• 極小値：$(-1, -1)$と$(1, -1)$

• $x \to \pm \infty$のとき、$f(x) \to +\infty$

これらの情報から、グラフはW型（ダブルボトム型）になることがわかるね。

今回の問題では$f(x) = x^4 - 2x^2$で、$x^2$の係数が$-2 < 0$なので、W型のグラフになります。

なるほど！$x^2$の係数の符号でグラフの形が決まるんですね。

そうだよ。$x^2$の係数が負だと、原点付近で下に凹むからW型になるんだ。

この形の判定は入試でもよく問われるから、覚えておこう！

最後に、4次関数の極値の個数について補足しておくね。

ここでは4次関数のグラフについて学習しました。

偶関数の性質を使えば、計算量を半分に減らせることがポイントです。

また、$x^2$の係数の符号でグラフの形（W型かU型か）を判定できることも覚えておきましょう！