最大・最小問題（微分利用）

問題

$(1)\quad$ 関数$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$の$-2\leqq x\leqq 4$における最大値と最小値を求めよ。

$(2)\quad$ 周の長さが$20$cmの長方形がある。この長方形の面積の最大値を求めよ。

解説

閉区間における最大値・最小値の問題について解説します。

最大値・最小値を求めるときに微分をどう使うんですか？

いい質問だね！微分すると極値（極大・極小）の場所が分かるよね。

閉区間での最大・最小は、極値と区間の端点の値を比較して求めるんだ。

ポイントは「極値だけでなく端点の値も必ず確認する」ことだよ！

まず$f(x)$を微分して、$f'(x)=0$となる$x$の値を求めます。

$f'(x)=0$より、$x=-1, 3$

$x=-1$と$x=3$で極値をとるんですね！

その通り！でもまだ最大・最小とは限らないよ。

この$x=-1, 3$はどちらも区間$[-2, 4]$の中にあるから、端点$x=-2, 4$も含めて全ての値を比較しよう。

各点での関数値を計算します。

• $$f(-2) = (-2)^3-3(-2)^2-9(-2)+5 = -8-12+18+5 = 3$$

• $$f(-1) = (-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5 = -1-3+9+5 = 10$$

• $$f(3) = 3^3-3\cdot 3^2-9\cdot 3+5 = 27-27-27+5 = -22$$

• $$f(4) = 4^3-3\cdot 4^2-9\cdot 4+5 = 64-48-36+5 = -15$$

増減表をまとめると次のようになります。

比較すると、最大値は$f(-1)=10$、最小値は$f(3)=-22$だね。

よって、最大値$\underline{10}$（$x=-1$のとき）、最小値$\underline{-22}$（$x=3$のとき）

端点の$x=-2$での値は最大でも最小でもないんですね。

そうだよ！端点が最大・最小になることもあるから、必ず全部の値を比較することが大切なんだ。

文章題はどうやって解くんですか？

まず変数を設定して、最大・最小を求めたい量を$x$の関数で表すんだ。

そして、変数$x$のとりうる範囲を考えることが大切だよ！

長方形の縦の長さを$x$ cmとします。

周の長さが$20$ cmなので、$(縦+横)\times 2 = 20$より、縦$+$横$=10$

よって、横の長さは$(10-x)$ cmとなります。

ここで$x$の範囲を考えよう。縦も横も正の値でなければいけないから、

$x>0$かつ$10-x>0$、つまり$0<x<10$だね。

長方形の面積を$S$とすると、

$S$を$x$で微分すると、

$\frac{dS}{dx}=0$より、$x=5$

増減表は次のようになります。

端点の$x=0$と$x=10$は括弧で書いてありますが、なぜですか？

いいところに気づいたね！$x$の範囲は$0<x<10$だから、端点は含まないんだ。

だから括弧をつけて、そこでの値は参考値として書いているんだよ。

$x=5$のとき、$S=5(10-5)=25$

よって、$x=5$のとき（$1$辺$5$cmの正方形のとき）、面積の最大値は$\underline{25}$ cm$^2$

「面積最大」「体積最大」などの問題は入試でよく出るよ。

変数の範囲に注意して解けるようになろう！

ここでは、微分を利用した最大・最小問題について学習しました。

閉区間では極値と端点の値を全て比較すること、文章題では変数の範囲を正しく設定することがポイントです。

この考え方は様々な応用問題で使うので、しっかりマスターしてくださいね！