極限値から関数決定

問題

次の等式が成り立つとき、$a$と$b$の値を求めよ。

解説

極限値から関数を決定する問題について解説します。

うーん、どう考えたらいいか分かりません。

とりあえず、等式が成り立つと言われているから実際に$x\to 1$としてみようか。

${x\to 1}$とすると分母が$0$になってしまいます。

そこがポイントなんだ。この問題では分数式の関数が$1$に収束しているよね。

分数式の極限が収束していて分母が$0$に収束しているとき、分子も$0$に収束するんだ。

つまり、分子が$0$に収束することが$\textcolor{red}{必要}$と言えるよ。

分母が$0$に収束するとき、分子が$0$に収束するのはなぜですか？

その証明は次のようにできるよ。

簡単にいうと、分数式の極限が収束しているのに分母が$0$になっているということは$\frac{0}{0}$の不定形になっているということだね。

これらをふまえ、実際に問題を解いていきます！

$x \to 1$とすると分母が$0$に収束しているため、分子が$0$に収束することが$\textcolor{red}{必要}$ですね。

つまり、$\lim_{x \to 1}(x^2+ax+b)=0$となれば良いので$1+a+b=0$、よって$b=-a-1$と表せます。

$b=-a-1$を$\lim_{x \to 1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}$に代入すると$\lim_{x \to 1}\frac{x^2+ax-a-1}{x-1}$ $=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1}$ $=\lim_{x \to 1}(x+a+1)=a+2$

これが$1$となるので、$a+2=1$、よって$a=-1$となりますね。

$b=-a-1$だったので、$b=1-1=0$と分かります。

よって、$\underline{a=-1, b=0}$となります。

ここでは極限値から関数決定を行う問題について解説しました。

解法を理解できれば計算自体は複雑ではないので、色々な問題を解いてマスターしてくださいね！