方程式・不等式への微分の応用

問題

$(1)\quad$ 方程式$x^3-3x+1=0$の実数解の個数を求めよ。

$(2)\quad$ $x \geqq -2$のとき、不等式$x^3-3x+2 \geqq 0$が成り立つことを証明せよ。

解説

微分を利用して方程式の実数解の個数を求めたり、不等式を証明したりする問題について解説します。

微分って、接線や極値を求めるだけじゃないんですか？

実は、微分は方程式や不等式の問題にも大活躍するんだよ。

関数の増減を調べることで、グラフの形がわかるよね。

それを使えば、方程式の解の個数や不等式の証明ができるんだ。

$f(x)=x^3-3x+1$とおいて、$y=f(x)$のグラフと$x$軸の交点の個数を調べよう。

まず$f(x)$を微分して増減を調べるよ。

$f(x)=x^3-3x+1$を微分すると、

$f'(x)=0$とおくと、$x=-1, 1$

$f'(x)=0$の解が求まったので、増減表を作ればいいんですね！

その通り！極値を計算して増減表にまとめよう。

極値を計算します。

$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3$（極大値）

$f(1)=1^3-3 \cdot 1+1=1-3+1=-1$（極小値）

増減表にまとめると、

グラフの概形を描くと次のようになります。

グラフを見てみよう。

極大値が$3>0$、極小値が$-1<0$だから、グラフは$x$軸を3回横切っているね。

極大値が正で極小値が負なので、$x$軸と3点で交わるんですね！

その通り！もう少し丁寧に確認すると、

$x \to -\infty$のとき$f(x) \to -\infty$、$x \to +\infty$のとき$f(x) \to +\infty$で、

極大値$f(-1)=3>0$、極小値$f(1)=-1<0$だから、

グラフの連続性から$x$軸との交点は$3$個あるとわかるよ。

よって、方程式$x^3-3x+1=0$の実数解の個数は$\underline{3}$個です。

次は不等式の証明だよ。$g(x)=x^3-3x+2$とおいて、$x \geqq -2$での最小値を調べよう。

$g(x)=x^3-3x+2$を微分すると、

$g'(x)=0$とおくと、$x=-1, 1$（いずれも$x \geqq -2$の範囲内）

極値と端点の値を計算します。

$g(-2)=(-2)^3-3(-2)+2=-8+6+2=0$（端点）

$g(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$（極大値）

$g(1)=1^3-3 \cdot 1+2=1-3+2=0$（極小値）

増減表にまとめると（$x \geqq -2$の範囲で）、

増減表を見ると、$x \geqq -2$の範囲で最小値は$0$ですね！

そうだね！$x=-2$と$x=1$のとき$g(x)=0$で、それ以外では$g(x)>0$だから、

$x \geqq -2$のとき$g(x) \geqq 0$が成り立つよ。

増減表より、$x \geqq -2$において$g(x)$の最小値は$0$（$x=-2, 1$のとき）です。

したがって、$x \geqq -2$のとき$x^3-3x+2 \geqq 0$が成り立ちます。

ちなみに、因数分解を使う別解もあるよ。

$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$と因数分解できるんだ。

$g(1)=0$だから$(x-1)$が因数なんですね！

いいところに気づいたね！$g(1)=0$なので$(x-1)$は因数で、

しかも$x=1$は極小値$0$をとる点だから$(x-1)^2$が因数になるんだよ。

因数分解ができれば簡潔に示せるけど、いつもうまく因数分解できるとは限らないよ。

微分を使う方法は汎用性が高いので、しっかり身につけておこう！

ここでは微分を利用した方程式・不等式への応用を学習しました。

方程式の実数解の個数は、$y=f(x)$のグラフと$x$軸の交点の個数として求められます。

不等式の証明は、$f(x)$の最小値が$0$以上であることを増減表から示す方法が有効です。

増減表をしっかり書いてグラフの概形を把握することが、これらの問題を解くカギになりますよ！