極値から関数決定

問題

関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が$x=0$で極大値$2$、$x=2$で極小値$-6$をとるとき、定数$a,b,c,d$の値を求めよ。

解説

極値から関数を決定する問題について解説します。

はじめに、極大値と極小値について復習しておきましょう。

問題文から、$f(0)=2,f(2)=-6$であることは分かりますがこれだけでは$a,b,c,d$の値は決定できませんよね。どうすればいいんですか？

$f(x)$が極値を取っていることに注目してみよう。

$f(x)$が$x=a$で極値を取るとき、$f'(a)=0$であることが言えるんだ。

この問題であれば$x=0,2$のときに極値をもつから$f'(0)=0,f'(2)=0$が成り立つんだ。

なるほど！それなら$4$つの式を立てられるので$a,b,c,d$の値を求めることができそうです！

ちなみに、$f'(a)=0$であっても$x=a$で極値をとるとは限らないことに注意してね。逆は成り立たないよ。

それでは例題を見ていきましょう。

計算は後にして、先に立式からしてしまいましょう。

問題文より、$f(0)=2, f(2)=-6$

$f(x)$は$x=0,2$で極値をとるので$f'(0)=0, f'(2)=0$

よって、 $\left\{ \begin{array}{l} f(0)=2 & \cdots (1) \\ \\ f(2)=-6 &\cdots (2) \\ \\ f'(0)=0& \cdots (3) \\ \\f'(2)=0 & \cdots (4) \end{array} \right.$

①より、$d=2$

②より、$8a+4b+2c+d=-6$

また、$f'(x)=3ax^2+2bx+c$なので

③より、$c=0$

④より、$12a+4b+c=0$

これらを解くと$a=2, b=-6, c=0, d=2$となります。

ここで終わってはいけないよ！実際に求めた関数$f(x)$が極値をとるかどうか確認しておこう。

そのために、増減表を書いていくよ。

求めた値より、$f(x)=2x^3-6x^2+2$となる。

$f'(x)=6x^2-12x=6x(x-2)$より増減表を書くと

となるので、確かに$f(x)$は$x=0$のとき極大値$2$、$x=2$のとき極小値$-6$をとっていることが分かります。

よって、答えは$\underline{{a=2, b=-6, c=0, d=2}}$となります。

求めた関数が問題文に書いてあるように極値をもつかどうか確認するのを忘れないようにね！

ここでは極値から関数を決定する問題について解説しました。

解法自体はシンプルですが、最後に条件を満たしているか確認するのを忘れないようにしてくださいね！