3次関数のグラフと増減表

問題

関数$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ $f(x)$の極値を求めよ。

$(2)\quad$ $y = f(x)$のグラフの概形を描け。

解説

3次関数のグラフと増減表について解説します。

3次関数のグラフって、どうやって描くんですか？

3次関数のグラフを描くには、まず導関数を求めて関数の増減を調べるんだ。

「増減表」という表を作って整理すると分かりやすいよ。

増減表って何ですか？

増減表は、$x$の値に対して$f'(x)$の符号と$f(x)$の増減をまとめた表だよ。

これを使うと、極値の位置やグラフの概形が分かるんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

まずは$f(x)$を微分して$f'(x)$を求めてみよう。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$を微分すると、

$f'(x) = 0$となる$x$を求めればいいんですね！

その通り！$f'(x) = 0$を解いてみよう。

$f'(x) = 0$のとき、$3(x + 1)(x - 3) = 0$より、

次に増減表を書いていこう。$f'(x)$の符号を調べるよ。

$f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$の符号を調べると、

• $x < -1$のとき：$(x + 1) < 0$、$(x - 3) < 0$なので$f'(x) > 0$（増加）

• $-1 < x < 3$のとき：$(x + 1) > 0$、$(x - 3) < 0$なので$f'(x) < 0$（減少）

• $x > 3$のとき：$(x + 1) > 0$、$(x - 3) > 0$なので$f'(x) > 0$（増加）

増減表にまとめると、

増減表を見ると、$x = -1$で極大、$x = 3$で極小ですね！

よく読み取れたね！では極値を計算してみよう。

極値を求めます。

$x = -1$のとき：

$x = 3$のとき：

このグラフを図で確認しましょう。

グラフを描くときは、極値の点と$x$軸との交点の位置関係を把握することが大切だよ。

極大値が正で極小値が負なので、$x$軸とは3点で交わることが分かるね。

なるほど！増減表があればグラフの概形が描けますね！

その通り。3次関数のグラフは、

・最高次の係数の符号

・極値の有無と値

この2つが分かればだいたいの形が描けるよ。

極値がないときもあるんですね。

そうだね。$f(x) = x^3$のように、常に増加または減少する3次関数もあるんだ。

そういう場合はS字カーブではなく、単調な曲線になるよ。

ここでは3次関数のグラフと増減表について学習しました。

増減表を作るには、まず$f'(x)$を求め、$f'(x) = 0$の解を求めます。

そして$f'(x)$の符号から関数の増減を調べ、極値を求めます。

この流れをしっかりマスターして、グラフが描けるようになりましょう！