基本的な微分

問題

次の式を微分せよ。

解説

微分の問題について解説します。

微分は、導関数の定義に従って行われます。その定義は次の通りです。

本当はこの定義に従って微分するべきですが、微分を全てこの定義にしたがったやり方でやっているとあまりにも大変です。

そこで、計算を簡略化するために以下の公式があります。

この公式を使って微分を行っていきましょう。

それでは問題を解説していきます。

べき乗を微分するときは、指数の数字を係数として前におろし、指数の数字から$1$引けばよいです。

この問題では、指数が$3$なので$3$を前に下ろします(係数にする)。

指数の部分の数字は$1$下げればいいので$2$となります。

よって$\underline{y'=7 \times 3 x^2=21x^2}$となります。

次の問題を見ていきましょう。

複数の項からなる関数を微分するときは、それぞれの項を微分して足し合わせてあげれば良いです。

$3x^2$と$-5x$と$12$をそれぞれ微分して、最後に足し合わせましょう。

これは$(1)$のときと同じです。

指数の$2$を下ろして、指数の数字から$1$を引くと$3 \times 2x=6x$です。

指数が省略されている、つまり$1$のときでも同じです。

$-5 \times 1x^0$となるので$-5$となります。

$x$の微分は$1$になるから、$-5x$の微分は一瞬で$-5$と分かるよ！

$12$は定数なので、微分すると$0$になります。

以上より、それぞれ微分したものを足し合わせて$\underline{y'=6x-5}$となります。

ここでは微分の最も基礎的な問題について解説しました。

これらの微分は数学Ⅱだけでなく数学Ⅲの微分でも日常的に使います。たくさん問題を解いて慣れていきましょう！

慣れたらこの例題2問とも頭の中ででできるようになるよ！