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図形と計量

三角比の相互関係の証明

3公式の証明

図形と計量の「三角比の相互関係の証明」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「3公式の証明」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅰ 約12分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角比の相互関係の証明の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 3公式の証明
  • ポイント: 図形と計量の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
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問題

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解説

三角比の相互関係の33つの公式を証明していきます。

三角比の相互関係は数学IIや数学IIIでも何度も使う、とても重要な公式だよ。

公式を暗記するだけでなく、なぜ成り立つのかを理解しておこう！

証明にはどんな考え方を使うんですか？

直角三角形の定義と三平方の定理を使うよ。

まずは直角三角形を使った三角比の定義を確認しよう。

θ O A B x y r

この直角三角形では、三平方の定理（ピタゴラスの定理）より

x2+y2=r2⋯(∗)x^2 + y^2 = r^2 \quad \cdots (*)

が成り立ちます。この関係式を使って、33つの公式を順番に証明していきましょう。

(1)  sin⁡2θ+cos⁡2θ=1(1)\;\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 の証明

三角比の定義を(∗)(*)に代入する方針で考えてみよう。

三角比の定義より sin⁡θ=yr\sin\theta = \dfrac{y}{r}, cos⁡θ=xr\cos\theta = \dfrac{x}{r} であるから、

sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta + \cos^2\theta
=(yr)2+(xr)2= \left(\dfrac{y}{r}\right)^2 + \left(\dfrac{x}{r}\right)^2
=y2r2+x2r2= \dfrac{y^2}{r^2} + \dfrac{x^2}{r^2}
=x2+y2r2= \dfrac{x^2 + y^2}{r^2}

三平方の定理より x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 であるから、

=r2r2=1= \dfrac{r^2}{r^2} = 1

よって sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 □\quad \square

三平方の定理から自然に出てくるんですね！

その通り！単位円（半径11の円）で考えるともっと分かりやすいよ。

単位円ではr=1r=1だから、sin⁡θ=y\sin\theta = y、cos⁡θ=x\cos\theta = xとなって、

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1がそのままcos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1になるんだ。

単位円で見てみましょう。

P 55° x y 1 -1 1 -1
θ=55∘\theta = 55^\circ
P(0.574,0.819)P\left(0.574, 0.819\right)

単位円上の点の座標は(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)となるので、cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1は「単位円上の点は原点からの距離が11」ということを意味しています。

(2)  tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(2)\;\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} の証明

三角比の定義より sin⁡θ=yr\sin\theta = \dfrac{y}{r}, cos⁡θ=xr\cos\theta = \dfrac{x}{r}, tan⁡θ=yx\tan\theta = \dfrac{y}{x} であるから、

sin⁡θcos⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
=  yr    xr  = \dfrac{\;\dfrac{y}{r}\;}{\;\dfrac{x}{r}\;}
=yr×rx= \dfrac{y}{r} \times \dfrac{r}{x}
=yx= \dfrac{y}{x}
=tan⁡θ= \tan\theta

よって tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} □\quad \square

分数の分数になりますが、rrが約分されて消えるんですね。

そうだね。sin⁡θ\sin\thetaとcos⁡θ\cos\thetaはどちらもrrで割ったものだから、その比をとるとrrが消えてyx\dfrac{y}{x}、つまりtan⁡θ\tan\thetaの定義そのものになるんだ。

(3)  1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ(3)\;1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} の証明

この公式は、(1)(1)の公式を変形するだけで導けるよ。

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 の両辺をcos⁡2θ\cos^2\thetaで割ってみよう。

(1)(1)より sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0のとき、両辺をcos⁡2θ\cos^2\thetaで割ると、

sin⁡2θcos⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\cos^2\theta}

(2)(2)より sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta であるから、sin⁡2θcos⁡2θ=tan⁡2θ\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta となり、

tan⁡2θ+1=1cos⁡2θ\tan^2\theta + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\theta}

よって 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} □\quad \square

(1)(1)の公式から(3)(3)が出てくるんですね！

33つの公式がバラバラじゃなくて、つながっているんだ。

いいところに気がついたね！実は(1)(1)が最も基本で、(2)(2)と(3)(3)はそこから導けるんだ。

だから(1)(1)の証明は特にしっかり理解しておこう。

ちなみに(3)(3)で「cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0」という条件がついているのは、cos⁡θ=0\cos\theta = 0だとtan⁡θ\tan\thetaが定義されないからだよ。

θ=90°\theta = 90°のときはcos⁡90°=0\cos 90° = 0なので、tan⁡90°\tan 90°は存在しないことに注意してね。

このページのまとめ

ここでは三角比の相互関係の33つの公式の証明を行いました。

(1)  sin⁡2θ+cos⁡2θ=1(1)\;\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 は三平方の定理から、(2)(2)は三角比の定義から、(3)(3)は(1)(1)をcos⁡2θ\cos^2\thetaで割ることで証明できます。

これらの公式は三角比の計算で非常に頻繁に使うので、証明の流れも含めてしっかり理解しておきましょう！

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