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図形と計量

三角比の定義

直角三角形による定義

図形と計量の「三角比の定義」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「直角三角形による定義」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅰ 約10分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角比の定義の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 直角三角形による定義
  • ポイント: 図形と計量の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

下の図のような直角三角形ABCにおいて、∠\angleA=θ= \theta とする。AB=5\text{AB}=5, BC=3\text{BC}=3, AC=4\text{AC}=4 のとき、次の値を求めよ。

(1)sin⁡θ(1)\quad \sin\theta
(2)cos⁡θ(2)\quad \cos\theta
(3)tan⁡θ(3)\quad \tan\theta

答えを見る
(1)  sin⁡θ=35‾(1)\;\sin\theta = \underline{\dfrac{3}{5}}
(2)  cos⁡θ=45‾(2)\;\cos\theta = \underline{\dfrac{4}{5}}
(3)  tan⁡θ=34‾(3)\;\tan\theta = \underline{\dfrac{3}{4}}

解説

三角比の定義について解説します。

三角比って何ですか？

三角比は、直角三角形の辺の比のことだよ。

角度θ\thetaに対してsin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tanという3つの値が定義されるんだ。

三角比は、直角三角形の角度\textcolor{red}{角度}と辺の長さの比\textcolor{red}{辺の長さの比}の関係を表すものです。

直角三角形の各辺には、注目する角θ\thetaに対して次のような名前がついています。

  • 斜辺\textbf{斜辺}：直角の向かい側にある辺（最も長い辺）
  • 対辺\textbf{対辺}：角θ\thetaの向かい側にある辺
  • 隣辺\textbf{隣辺}：角θ\thetaのとなりにある辺（斜辺を除く）
θ A B C 斜辺 対辺 隣辺

3つもあって覚えられるかな...

覚え方があるよ！「筆の先\textbf{筆の先}」で覚えよう。

ふ\textbf{ふ}（sin⁡\sinのs\text{s}の筆記体）→ 対辺斜辺\frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}

で\textbf{で}（cos⁡\cosのc\text{c}の筆記体）→ 隣辺斜辺\frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}

の\textbf{の}（tan⁡\tanのt\text{t}の筆記体）→ 対辺隣辺\frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}

自分なりの覚え方を見つけてね！

それでは問題を解いてみましょう。

直角三角形ABCにおいて、∠\angleA=θ= \theta とする。AB=5\text{AB}=5, BC=3\text{BC}=3, AC=4\text{AC}=4 のとき

(1)sin⁡θ(1)\quad \sin\theta を求めよ。

まず、直角三角形の各辺を確認しましょう。

θ A B C 5（斜辺） 3（対辺） 4（隣辺）

∠C=90°\angle\text{C} = 90° なので、

  • 斜辺（直角の向かい側）= AB =5= 5
  • 対辺（θ\thetaの向かい側）= BC =3= 3
  • 隣辺（θ\thetaのとなり）= AC =4= 4

定義に当てはめると、

sin⁡θ=対辺斜辺=35‾\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \underline{\dfrac{3}{5}}

(2)cos⁡θ(2)\quad \cos\theta を求めよ。

同様に定義に当てはめると、

cos⁡θ=隣辺斜辺=45‾\cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \underline{\dfrac{4}{5}}

(3)tan⁡θ(3)\quad \tan\theta を求めよ。

tan⁡θ=対辺隣辺=34‾\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \underline{\dfrac{3}{4}}

ポイントは、まず「どれが斜辺・対辺・隣辺か」をしっかり確認することだよ。

それさえできれば、あとは定義に当てはめるだけだね！

3, 4, 5の直角三角形は有名ですよね！

そうだね！32+42=523^2 + 4^2 = 5^2 が成り立つから直角三角形になるんだ。

このような整数の組をピタゴラス数\textbf{ピタゴラス数}と言うよ。他にも 5,12,135, 12, 13 や 8,15,178, 15, 17 などがあるよ。

最後に、単位円を使って三角比を視覚的に確認してみましょう。θ≈37°\theta \approx 37°（sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} となる角度）のときの単位円は次のようになります。

P 37° 0.799 0.602 x y 1 -1 1 -1
θ=37∘\theta = 37^\circ
P(0.799,0.602)P\left(0.799, 0.602\right)
sin⁡θ=0.602\sin\theta = 0.602
cos⁡θ=0.799\cos\theta = 0.799

単位円（半径1の円）では、sin⁡θ\sin\thetaはyy座標、cos⁡θ\cos\thetaはxx座標に対応するよ。

これは数学Iの「三角比の拡張」で詳しく学ぶから、今は直角三角形での定義をしっかり覚えよう！

このページのまとめ

ここでは三角比（sin⁡θ\sin\theta, cos⁡θ\cos\theta, tan⁡θ\tan\theta）の定義について学習しました。

三角比は直角三角形の辺の比で定義されます。「どれが斜辺・対辺・隣辺か」を正しく判断できることが最も重要です。

三角比は図形と計量の全ての問題の基礎となるので、しっかり身につけてくださいね！

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