三角比の拡張

問題

次の三角比の値を求めよ。

解説

三角比の拡張について解説します。

$120°$や$150°$の三角比ってどうやって求めるんですか？

直角三角形で考えると、$90°$より大きい角は作れないですよね...

いい質問だね！

直角三角形だけでは$0°$から$90°$までしか扱えないよね。

そこで「単位円」を使って三角比を拡張するんだ。

単位円を使えば、$0°$から$180°$まで、さらにそれ以上の角度も扱えるようになるんだ。

単位円上の点$P$が第$1$象限にあるとき（$0° < \theta < 90°$）は、

$x > 0$、$y > 0$なので、$\sin \theta > 0$、$\cos \theta > 0$、$\tan \theta > 0$となります。

点$P$が第$2$象限にあるとき（$90° < \theta < 180°$）は、

$x < 0$、$y > 0$なので、$\sin \theta > 0$、$\cos \theta < 0$、$\tan \theta < 0$となります。

なるほど！$90°$を超えると$\cos$と$\tan$がマイナスになるんですね。

その通り！符号を覚えておくと計算ミスを防げるよ。

それでは問題を解いていこう。

$120° = 180° - 60°$と考えることができます。

単位円上で$120°$の位置を考えると、$x$軸に関して$60°$の点と対称な位置にあります。

$60°$の点の座標は$\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$なので、

$120°$の点の座標は$\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$となります。

$180° - \theta$の関係を使うと、

$$\sin(180° - \theta) = \sin \theta$$

$$\cos(180° - \theta) = -\cos \theta$$

となるんだ。

よって、$\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$135° = 180° - 45°$と考えます。

$\cos(180° - \theta) = -\cos \theta$の関係を使うと、

$135°$は第$2$象限なので、$\cos$がマイナスになりますね！

$150° = 180° - 30°$と考えます。

$\tan(180° - \theta) = -\tan \theta$の関係を使うと、

$\tan 150° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$と有理化して書くこともあるよ。

この公式は超重要！

$\sin$だけ符号が変わらないことを覚えておこう。

単位円で考えると、$y$座標（$\sin$）は同じで、$x$座標（$\cos$）だけ符号が変わるからですね！

その通り！よく理解できているね。

ここでは、三角比の拡張について学習しました。

単位円を使うことで、$0°$から$180°$（さらにそれ以上）の三角比を定義できます。

$90°$より大きい角では符号に注意し、$180° - \theta$の公式を活用しましょう！