三角比の値

問題

$0° \leqq \theta \leqq 180°で\sin \theta =\frac 3 5$のとき$\cos \theta,\tan \theta$の値を求めよ。

解説

三角比の問題について解説していきます。

$\cos \theta$の値から考えていきましょう。

1つ目の公式を使えば$\cos \theta$の値を求めることができますね。

変形すると$\cos ^2 \theta = 1-\sin ^2 \theta$ となるので

$\sin \theta$ の値を代入すると、$\cos ^2 \theta = 1- \left (\frac{3}{5} \right )^2 = \frac{16}{25}$

よって$\cos \theta$の値は$\pm \frac 4 5$となります。

この値を$\tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}$に代入すれば、$\tan \theta = \pm \frac{3}{4}$というように求められます。

よって、答えは$\underline{\cos \theta = \pm \frac 4 5 ,\tan \theta = \pm \frac 3 4 }\;(複号同順)$

複号同順ってどういう意味ですか？

この問題の答えは、$\cos \theta =\frac 4 5$のとき$\tan \theta = \frac 3 4$で、$\cos \theta = - \frac 4 5$のとき$\tan \theta = - \frac 3 4$だったよね。

その2つの答えをまとめて書くための言葉なんだ。簡単に言うと、符号を読む時は「どっちも上側」か「どっちも下側」に揃えてね、という意味だよ。

なるほど！その言葉があったら、どっちも同じ符号になるということですか？

そうとは限らないんだ。

「複合」には$\textcolor{red}{ \pm}$と$\textcolor{red}{ \mp}$があって、$\cos \theta = \pm \frac 4 5 ,\tan \theta = \mp \frac 3 4(複号同順)$と書かれていた場合は

$\cos \theta =\frac 4 5$のとき$\tan \theta = -\frac 3 4$,

$\cos \theta = - \frac 4 5$のとき$\tan \theta = \frac 3 4$

というようになるよ。

上側か下側で揃えて読めばいいんですね！

その通り！

複号同順という言葉に加え、「複合任意」という言葉も数学には出てきます。

これは複合のうち、符号の組み合わせが自由なときに使われます。

頭の片隅に入れておきましょう！

ここでは、三角比の値を求める問題の解説をしました。

三角比の相互関係は数学Ⅱ、数学Ⅲでも必須となる知識です。

公式は必ず覚え、使いこなせるようになっておきましょう！