高校数学の解法 高校数学の解き方と勉強法を、わかりやすくまとめた学習サイト

図形と計量

$90^\circ - \theta$, $180^\circ - \theta$ の三角比

補角・余角の公式

図形と計量の「$90^\circ - \theta$, $180^\circ - \theta$ の三角比」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「補角・余角の公式」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅰ 約9分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

$90^\circ - \theta$, $180^\circ - \theta$ の三角比の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 補角・余角の公式
  • ポイント: 図形と計量の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の値を求めよ。

(1)sin⁡150°(1)\quad \sin 150°
(2)cos⁡135°(2)\quad \cos 135°
(3)tan⁡120°(3)\quad \tan 120°

答えを見る
(1)  sin⁡150°=12‾(1)\;\sin 150° = \underline{\frac{1}{2}}
(2)  cos⁡135°=−22‾(2)\;\cos 135° = \underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}
(3)  tan⁡120°=−3‾(3)\;\tan 120° = \underline{-\sqrt{3}}

解説

90°−θ90°-\thetaや180°−θ180°-\thetaの三角比について解説します。

sin⁡150°\sin 150°って、どうやって求めるんですか？30°30°とか45°45°みたいな有名な角度じゃないですよね...

いい質問だね！実は150°=180°−30°150° = 180° - 30°と考えることで、30°30°の三角比から求められるんだ。

まずは公式を確認しよう。

公式がたくさんありますね...。全部覚えないとダメですか？

単位円を使って考えれば、暗記しなくても導けるようになるよ。

単位円上で角度θ\thetaの点と、90°−θ90°-\thetaや180°−θ180°-\thetaの点の座標を比べてみよう。

単位円（半径11の円）において、角度θ\thetaに対応する点PPの座標は(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)です。

  • 180°−θ180°-\thetaの点は、θ\thetaの点とyy軸に関して対称
  • 90°−θ90°-\thetaの点は、θ\thetaの点と直線y=xy=xに関して対称

θ=30°\theta = 30°と180°−30°=150°180° - 30° = 150°の関係を単位円で見てみましょう。

P 30° √3/2 1/2 x y 1 -1 1 -1
θ=30∘\theta = 30^\circ
P(32,12)P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)
sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2}
cos⁡θ=32\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}
P 150° -√3/2 1/2 x y 1 -1 1 -1
θ=150∘\theta = 150^\circ
P(−32,12)P\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)
sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2}
cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}

30°30°と150°150°の点はyy軸に関して対称なので、yy座標（sin⁡\sinの値）は同じ12\frac{1}{2}、xx座標（cos⁡\cosの値）は符号が反転しています。

この対称性から、xx座標(cos⁡\cos)とyy座標(sin⁡\sin)がどう変化するか分かります。

180°−θ180°-\thetaでは、yy軸対称だからxx座標の符号が変わるね。

だからcos⁡(180°−θ)=−cos⁡θ\cos(180°-\theta) = -\cos\thetaとなるんだ。

(1)sin⁡150°(1)\quad \sin 150°

150°=180°−30°150° = 180° - 30°なので、180°−θ180°-\thetaの公式を使います。

sin⁡150°\sin 150°
=sin⁡(180°−30°)= \sin(180° - 30°)
=sin⁡30°= \sin 30°
=12‾= \underline{\frac{1}{2}}

sin⁡\sinは180°−θ180°-\thetaでも符号が変わらないんですね！

その通り！yy軸対称だからyy座標（つまりsin⁡\sin）は変わらないね。

(2)cos⁡135°(2)\quad \cos 135°

135°=180°−45°135° = 180° - 45°なので、180°−θ180°-\thetaの公式を使います。

cos⁡135°\cos 135°
=cos⁡(180°−45°)= \cos(180° - 45°)
=−cos⁡45°= -\cos 45°
=−22= -\frac{\sqrt{2}}{2}
=−22‾= \underline{-\frac{\sqrt{2}}{2}}

cos⁡\cosは180°−θ180°-\thetaで符号がマイナスになることに注意してね！

(3)tan⁡120°(3)\quad \tan 120°

120°=180°−60°120° = 180° - 60°なので、180°−θ180°-\thetaの公式を使います。

tan⁡120°\tan 120°
=tan⁡(180°−60°)= \tan(180° - 60°)
=−tan⁡60°= -\tan 60°
=−3‾= \underline{-\sqrt{3}}

tan⁡\tanも180°−θ180°-\thetaだとマイナスになるんですね。

そうだね。tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}だから、sin⁡\sinがそのままでcos⁡\cosがマイナスになると、tan⁡\tanもマイナスになるよ。

このページのまとめ

ここでは90°−θ90°-\theta、180°−θ180°-\thetaの三角比について学習しました。

公式を丸暗記するより、単位円上での点の対称性を理解しておくと、符号の判断ができるようになります。

150°150°や135°135°のような角度も、180°180°との差を考えることで有名角度に帰着できるので、ぜひマスターしてくださいね！

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。 類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。$90^\circ - \theta$, $180^\circ - \theta$ の三角比 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問 解法の鍵 類題演習 AIに質問
App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。