式の値

問題

$90°\leqq \theta \leqq 180°で\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt 2}$のとき

解説

三角比の式の値の問題を解説します。

この問題を見て何かピンと来るかな？

$\sin ^3\theta+\cos ^3$は「対称式」です！

その通り。「対称式」について知りたい人は[数学I - 数と式]にある例題から学習してね。

求めたい式が対称式ということは、その式が基本対称式で表せるということです。

$\sin ^3\theta+\cos ^3\theta=(\sin \theta+\cos \theta)^3-3\sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta)$と変形できますね。

この対称式の、基本対称式は$\sin \theta+\cos \theta$と$\sin \theta \cos \theta$だよ。

$\sin \theta+\cos \theta$の値は分かりますが$\sin \theta \cos \theta$の値は分かりませんよね。

そこが三角比の対称式の問題の最大の特徴なんだ！

三角比でない通常の対称式の問題では、基本対称式$x+y$と$xy$が求められるように2つ以上の情報が与えられます。

しかし、この三角比の対称式の問題では$\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$という情報しか与えられていませんね。何故でしょうか？

それは、「三角比の相互関係」を用いれば求めることができるからです。

三角比の問題では、「三角比の相互関係」を用いれば少ない値から色々な値を求めることができます。

この公式は覚えなくていいからね。

重要なのは、$\sin \theta+\cos \theta$の値から$\sin \theta \cos \theta$の値が分かるということだよ。

それでは問題を解いていきましょう。

$\sin \theta + \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$の両辺を2乗すると$\sin ^2\theta+2\sin \theta \cos \theta +\cos ^2\theta=\frac 1 2$となるので

三角比の相互関係$\sin ^2+\cos ^2=1$を用いれば、$1+2\sin \theta \cos \theta = \frac 1 2$より$\sin \theta \cos \theta =-\frac 1 4$となります。

$(\sin \theta+\cos \theta)^3-3\sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta)$に値を代入すると

$\left(\frac {1}{ \sqrt 2}\right)^3-3\cdot \left(-\frac 1 4\right)\cdot \frac{1}{\sqrt 2}\quad$ $=\quad \frac{1}{2\sqrt 2}+\frac{3}{4\sqrt 2}$ $=\underline{\frac{5\sqrt 2}{8}}$となります。

次の問題を見ていきましょう。

これは対称式ではないですね。

そうだね。

こういうときは求めたい式を2乗してみよう。

$\sin \theta - \cos \theta$を2乗すると、$(\sin \theta - \cos \theta)^2$$=\sin ^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +\cos ^2\theta$となります。

2乗したときの値だったら求められますね！

その通り。2乗した値を求めて最後に平方根の考えを使えばいいんだ。

$\sin ^2\theta+\cos ^2\theta=1$と$\sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4}$を代入すると$1-2\cdot\left(-\frac 1 4 \right)=\frac 3 2$より$(\sin \theta - \cos \theta)^2=\frac 3 2$となります。

あとは2乗を外せばいいから、答えは$\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$だ！

ちょっと待って。2乗を外す前に確認しなきゃいけないことがあるんだ。

問題文を見ると$90°\leqq \theta \leqq 180°$だったよね。

その答えだと$\theta$の条件を無視してしまっているから、最後に$\theta$の条件を考えよう。

$90°\leqq \theta \leqq 180°$では、$\cos \theta \leqq 0 \leqq \sin \theta$ですね。

そのため、$\sin \theta -\cos \theta \geqq 0$より$\sin \theta - \cos \theta$が負の値になることはあり得ませんね。

なので$-\sqrt{\frac{3}{2}}$は不適となります。

よって、求める値は$\sin \theta+\cos \theta$$= \sqrt{\frac{3}{2}}=\underline{\frac{\sqrt 6}{2}}$となります。

解き方は分かりましたが、なぜ不適の解が出てくるんですか？

今回求めたい値は$\sin \theta-\cos \theta$だったよね。

それを勝手に2乗してから戻しているから、不適の解がある可能性を考慮して解く必要があるよ。

ここでは式の値の問題について解説しました。

三角比の相互関係はこの問題を含めて様々なところで使用するので、三角比の問題が出たらすぐに思い出せるようになるまで色々な問題を解きましょう！