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図形と計量

三角形の面積（三角比を利用）

$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ とヘロンの公式

図形と計量の「三角形の面積（三角比を利用）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$S=\frac{1}{2}ab\sin C$ とヘロンの公式」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅰ 約10分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角形の面積（三角比を利用）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: S=12absin⁡CS=\frac{1}{2}ab\sin C とヘロンの公式
  • ポイント: 図形と計量の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

△ABC\triangle ABC において、次の面積 SS を求めよ。

(1)(1)\quad b=5b=5, c=8c=8, A=60°A=60° のとき

(2)(2)\quad a=7a=7, b=5b=5, c=8c=8 のとき（ヘロンの公式を用いよ）

答えを見る

(1)  (1)\; S=12⋅5⋅8⋅sin⁡60°=103‾S=\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60° = \underline{10\sqrt{3}}

(2)  (2)\; s=7+5+82=10s=\frac{7+5+8}{2}=10 より S=10⋅3⋅5⋅2=103‾S=\sqrt{10\cdot 3\cdot 5\cdot 2} = \underline{10\sqrt{3}}

解説

三角比を利用した三角形の面積の求め方について解説します。

三角形の面積って「底辺×高さ÷2」じゃないんですか？

もちろんそれも正しいよ！

でも高さが分からないときは、三角比を使って面積を求めることができるんだ。

三角形の面積は「12×\frac{1}{2} \times 底辺 ×\times 高さ」で求められますが、2辺とその間の角が分かっている場合は、三角比を使って高さを求めなくても直接面積を計算できます。

なぜ sin⁡\sin を使うと面積が求まるんですか？

例えば辺 bb を底辺とすると、頂点 BB から底辺への高さ hh は h=csin⁡Ah = c\sin A で求まるよね。

だから S=12×b×h=12×b×csin⁡A=12bcsin⁡AS = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times b \times c\sin A = \frac{1}{2}bc\sin A となるんだ。

また、3辺の長さだけが分かっている場合には、ヘロンの公式が使えます。

ヘロンの公式は角度が分からなくても、3辺の長さだけで面積が求まる便利な公式だよ。

それでは問題を解いていきましょう。

(1)(1)\quad b=5b=5, c=8c=8, A=60°A=60° のとき、△ABC\triangle ABC の面積 SS を求めよ。

2辺 bb, cc とその間の角 AA が与えられていますね。

60° A B C c = 8 b = 5

公式 S=12bcsin⁡AS = \frac{1}{2}bc\sin A にそのまま代入しましょう。

S=12⋅b⋅c⋅sin⁡AS = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A
=12⋅5⋅8⋅sin⁡60°= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60°
=12⋅5⋅8⋅32= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
=20⋅32= 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
=103‾= \underline{10\sqrt{3}}

2辺とその間の角が分かっていれば、公式に当てはめるだけだね！

sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} は有名角の三角比なのでしっかり覚えておこう。

(2)(2)\quad a=7a=7, b=5b=5, c=8c=8 のとき、△ABC\triangle ABC の面積 SS を求めよ（ヘロンの公式を用いよ）。

3辺の長さだけが与えられているので、ヘロンの公式を使います。

A B C c = 8 b = 5 a = 7

まず ss を求めます。

s=a+b+c2=7+5+82=10s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+5+8}{2} = 10

ヘロンの公式に代入しましょう。

S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
=10⋅(10−7)⋅(10−5)⋅(10−8)= \sqrt{10 \cdot (10-7) \cdot (10-5) \cdot (10-8)}
=10⋅3⋅5⋅2= \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2}
=300= \sqrt{300}
=103‾= \underline{10\sqrt{3}}

(1)(1)と同じ答えになりました！

いい気づきだね！ 実は (1)(1) の三角形で余弦定理を使うと a=7a = 7 になるんだ。

つまり (1)(1) と (2)(2) は同じ三角形の面積を別の方法で求めていたことになるね。

ちなみに、三角形の面積は内接円の半径 rr を使って S=12r(a+b+c)S = \frac{1}{2}r(a+b+c) と表すこともできるよ。

この三角形の場合、103=12⋅r⋅2010\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 20 より r=3r = \sqrt{3} となるね。

このページのまとめ

ここでは三角比を利用した三角形の面積の求め方について学習しました。

2辺とその間の角が分かっているときは S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C を、3辺の長さだけが分かっているときはヘロンの公式を使いましょう。

どちらの公式もよく出題されるので、ぜひマスターしてくださいね！

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