正弦定理の応用

問題

$\triangle ABC$ において、次の各問いに答えよ。

$(1)\quad a=4,\; A=30°$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。

$(2)\quad c=6,\; A=45°,\; B=105°$ のとき、$a$ と外接円の半径 $R$ を求めよ。

解説

正弦定理の応用問題について解説します。

正弦定理の公式を忘れてしまいました...

大丈夫！まず公式を確認してから問題を解いていこう。

正弦定理のポイントは、等式の最後にある $=2R$ の部分だよ。

これを使えば外接円の半径 $R$ を直接求めることができるんだ。

つまり、辺の長さと向かい合う角が1組分かれば $R$ が出せるんですね！

その通り！下の図で確認してみよう。

三角形の各辺 $a, b, c$ は、それぞれ向かい合う角 $A, B, C$ と対応しています。辺と角が1組分かれば、$2R$ の値を求めることができます。

それでは問題を解いていきましょう。

辺 $a$ と角 $A$ が分かっているね。正弦定理の $\frac{a}{\sin A}=2R$ をそのまま使おう！

正弦定理より、

に $a=4,\; A=30°$ を代入すると、

よって、$R = \underline{4}$

$\sin 30° = \frac{1}{2}$ を使うんですね！分数の割り算に気をつけます。

いいね！$\frac{a}{\sin A}$ の形で $\sin A$ が分数のときは、逆数を掛ける計算になるから注意しよう。

これは「1辺と2角」のパターンだね。まず残りの角 $C$ を求めよう。

三角形の内角の和は $180°$ なので、

角 $C$ が分かったから、$c$ と $C$ の組を使って正弦定理を立式しよう！

正弦定理より、

よって、$R = \underline{6}$

次に $a$ を求めます。正弦定理より、

まず $R$ を求めてから、$2R$ を使って他の辺も求められるんですね！

その通り！$2R$ の値が分かれば、$a = 2R\sin A$ のように全ての辺が求められるんだ。

これが正弦定理の便利なところだよ。

余弦定理とはどう使い分ければいいですか？

いい質問だね！簡単にまとめると、

・$\textcolor{red}{1辺と2角}$ が分かっている $\rightarrow$ 正弦定理

・$\textcolor{red}{外接円の半径R}$ を求めたい $\rightarrow$ 正弦定理

・$\textcolor{red}{2辺とその間の角}$ が分かっている $\rightarrow$ 余弦定理

・$\textcolor{red}{3辺}$ が分かっている $\rightarrow$ 余弦定理

となるよ。

ここでは正弦定理の応用問題について学習しました。

正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ は、外接円の半径 $R$ を求めるときや、1辺と2角が分かっているときに大活躍する公式です。

$2R$ の値をまず求めることで、全ての辺の長さを効率よく計算できるようになるので、ぜひマスターしてくださいね！