余弦定理の応用

問題

$\triangle ABC$において、次の各問いに答えよ。

$(1)\quad a=7,\; b=5,\; c=3$のとき、最大の角を求めよ。

$(2)\quad b=\sqrt{3},\; c=1,\; A=30°$のとき、$a$を求めよ。

$(3)\quad$ 3辺の長さが次のとき、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか判定せよ。

$\qquad$ (i) $a=5,\; b=6,\; c=7\qquad$ (ii) $a=4,\; b=5,\; c=8$

解説

余弦定理の応用問題について解説します。

まずは余弦定理の公式を確認しましょう。

余弦定理は「2辺と挟角から残りの辺」を求めるだけでなく、「3辺から角度」を求めるときにも使えるよ。

今回はこの両方のパターンと、三角形の形状判定を練習しよう！

最大の角ってどうやって見分けるんですか？

三角形では、最も長い辺の対角が最大の角になるんだ。

$a=7$が最大だから、その対角$A$が最大角だよ。

余弦定理を$\cos A$について解いた形を使います。

$0° < A < 180°$で$\cos A = -\frac{1}{2}$を満たすのは$A=\underline{120°}$です。

$\cos$の値がマイナスということは鈍角なんですね！

その通り！$\cos A < 0$なら$A$は鈍角（$90° < A < 180°$）だね。

この性質はこの後の$(3)$でも使うから覚えておこう。

これは「2辺とその間の角」のパターンだね。余弦定理をそのまま使おう！

余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$に代入します。

$a > 0$より、$a = \underline{1}$

きれいな値になりましたね！

そうだね。$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$を正確に代入するのがポイントだよ。

有名角の三角比の値はしっかり覚えておこう！

三角形の形状ってどうやって判定するんですか？

いい質問だね！ポイントは「最大辺の対角」を調べることだよ。

最大角の$\cos$の値の符号で判定できるんだ。

三平方の定理の拡張だと考えると分かりやすいよ。

$a^2+b^2=c^2$が直角三角形だったよね。それより大きいか小さいかで判断するんだ。

（i）$a=5,\; b=6,\; c=7$ の場合

最大辺は$c=7$です。$a^2+b^2$と$c^2$を比較します。

$a^2+b^2 = 61 > 49 = c^2$なので、$\underline{\text{鋭角三角形}}$です。

（ii）$a=4,\; b=5,\; c=8$ の場合

最大辺は$c=8$です。同様に比較します。

$a^2+b^2 = 41 < 64 = c^2$なので、$\underline{\text{鈍角三角形}}$です。

なるほど、最大辺に注目するのがコツなんですね！

その通り！最大辺の対角さえ調べれば、他の角は必ずそれ以下だから、全ての角を調べる必要はないんだよ。

鈍角は最大でも1つしか存在しないからね。

ここでは余弦定理の応用問題について学習しました。

3辺から角度を求める問題では、$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$の形を使うのがポイントです。

三角形の形状判定では、最大辺の2乗と残り2辺の2乗の和を比較するだけで判定できます。

色々なパターンの問題を解いて、余弦定理を使いこなせるようになりましょう！