2次方程式の解の配置

問題

$(1)\quad$ 2次方程式 $x^2-2ax+a+2=0$ が2つの正の実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$(2)\quad$ 2次方程式 $x^2+2ax+a+6=0$ が異符号の2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

解説

2次方程式の解の配置について解説します。

「解の配置」って何ですか？

2次方程式の解（=グラフの$x$切片）が、数直線上のどの範囲にあるか を調べる問題のことだよ。

2次関数のグラフを使って条件を立てるのがポイントなんだ！

この3条件をグラフのイメージで理解しよう。下に凸の放物線が$x$軸の正の部分で2回交わるには、この3つが全て必要なんだ。

$f(x) = x^2-2ax+a+2$ とおきます。$x^2$の係数が正なので、グラフは下に凸です。

2つの正の実数解をもつために、3つの条件を順番に立てていこう！

まず、$f(x)=0$ が2つの正の実数解をもつということは、グラフが$x$軸の正の部分で2回交わるということです。

このとき満たすべき条件を考えましょう。

上のグラフは2つの正の解をもつ場合のイメージだよ。

これが成り立つための条件を1つずつ確認しよう。

条件① 判別式 $D \geqq 0$

よって $a \leqq -1$ または $a \geqq 2 \quad \cdots (1)$

条件② 軸 $> 0$

軸は $x = \dfrac{2a}{2} = a$ なので、

条件③ $f(0) > 0$

よって $a > -2 \quad \cdots (3)$

3つの条件が出ました！これの共通部分を求めればいいんですね。

その通り！数直線を使って共通部分を考えよう。

①②③の共通部分を求めます。

① $a \leqq -1$ または $a \geqq 2$

② $a > 0$

③ $a > -2$

②より $a > 0$ なので、①のうち $a \leqq -1$ の部分は除かれ、$a \geqq 2$ の部分だけが残ります。

③ $a > -2$ は $a \geqq 2$ のとき自動的に満たされます。

以上より、答えは $\underline{a \geqq 2}$ です。

実際に $a=2$ のとき確認してみよう。$x^2-4x+4=0$ つまり $(x-2)^2=0$ となり、$x=2$（重解）で正の解をもつね。

$f(x) = x^2+2ax+a+6$ とおきます。

「異符号の2つの実数解」だから、1つは正で1つは負ってことですよね？

さっきみたいに3つの条件を立てるんですか？

いい質問だね！実は異符号の場合はもっと簡単なんだ。

条件は $f(0)<0$ の1つだけで十分だよ。

判別式の条件は要らないんですか？

$f(0)<0$ ということは、下に凸のグラフが $x=0$ で$x$軸より下にあるということだよ。

ということは、$0$の左と右で必ず1回ずつ$x$軸と交わるんだ。だから判別式 $D>0$ は自動的に満たされるよ。

グラフで確認してみましょう。

上のグラフのように、$y$切片（$f(0)$の値）が負なら、グラフは$x$軸の負の側と正の側で1回ずつ交わるね。

それでは条件を立てましょう。

$f(0) < 0$ より、

よって $\underline{a < -6}$ です。

念のため確認しておこう。$a=-7$ のとき $x^2-14x-1=0$ だね。

解の公式から $x = 7 \pm 5\sqrt{2}$ となり、$7+5\sqrt{2}>0$ かつ $7-5\sqrt{2}<0$ で確かに異符号だよ。

ここでは2次方程式の解の配置について学習しました。

解がある範囲にあるかどうかを判定するには、2次関数のグラフを利用して「判別式」「軸の位置」「端点での値」の条件を組み合わせるのがポイントです。

特に「異符号の2解」の場合は $f(0)<0$ だけで十分という点は重要です。入試でも頻出なので、しっかり練習しておきましょう！