このページのまとめ
先に押さえておくこと
2次関数の対称移動の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。
答えの要点
図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。
- テーマ: x軸・y軸・原点に関する対称移動
- ポイント: 2次関数の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
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問題
2次関数y=x2−4x+3のグラフを次のように対称移動した曲線の方程式を求めよ。
(1) x軸に関して対称移動
(2) y軸に関して対称移動
(3) 原点に関して対称移動
解説
2次関数のグラフの対称移動について解説します。
いい質問だね！平行移動はグラフの形も向きもそのままで位置だけを動かすけど、対称移動はグラフを"裏返す"イメージだよ。
鏡に映したようなグラフになるんだ。
考え方を説明するね。
x軸に関して対称移動すると、y座標の符号が反転するよね。
だからyを−yに置き換えて、−y=f(x)つまりy=−f(x)になるんだ。
同様に、y軸に関する対称移動はx座標の符号が反転するからxを−xに置き換えてy=f(−x)。
原点に関する対称移動はxもyも反転するからy=−f(−x)になるよ。
なるほど！座標の符号が反転することを考えればいいんですね！
では実際に問題を解いてみましょう。まず元の関数を平方完成しておきます。
y=x2−4x+3 =(x−2)2−4+3 =(x−2)2−1 よって頂点は(2,−1)です。
(1) x軸に関して対称移動
x軸に関する対称移動はy=−f(x)だね。yの符号を反転させよう。
y=−(x2−4x+3) =−x2+4x−3 頂点の変化を確認すると、(2,−1)が(2,1)に移動しています。y座標だけが反転していますね。
y = x^2 - 4x + 3
y = -x^2 + 4x - 3
青が元のグラフで、赤がx軸で裏返したグラフですね！
x軸を挟んで鏡に映したようになっています！
(2) y軸に関して対称移動
y軸に関する対称移動はy=f(−x)だね。xを−xに置き換えよう。
y=(−x)2−4(−x)+3 =x2+4x+3 =x2+4x+3 平方完成すると(x+2)2−1なので、頂点は(−2,−1)です。元の頂点(2,−1)のx座標だけが反転していますね。
y = x^2 - 4x + 3
y = x^2 + 4x + 3
青が元のグラフで、緑がy軸で裏返したグラフですね！
y軸を挟んで左右対称になっています！
(3) 原点に関して対称移動
原点に関する対称移動はy=−f(−x)だよ。xを−xに置き換えてから全体に−をつけよう。
y=−((−x)2−4(−x)+3) =−(x2+4x+3) =−x2−4x−3 平方完成すると−(x+2)2+1なので、頂点は(−2,1)です。元の頂点(2,−1)のx座標もy座標も反転していますね。
y = x^2 - 4x + 3
y = -x^2 - 4x - 3
青が元のグラフで、オレンジが原点で裏返したグラフですね！
上下左右が反転しています！
原点に関する対称移動は、x軸に関する対称移動をしてからy軸に関する対称移動をしたのと同じ結果になるよ。
どちらの順番でやっても大丈夫だよ。
y = x^2 - 4x + 3
y = -x^2 + 4x - 3
y = x^2 + 4x + 3
y = -x^2 - 4x - 3
青が元のグラフy=x2−4x+3、赤がx軸対称y=−x2+4x−3、緑がy軸対称y=x2+4x+3、オレンジが原点対称y=−x2−4x−3です。
このページのまとめ
ここでは、2次関数のグラフの対称移動について学習しました。
x軸対称はy=−f(x)、y軸対称はy=f(−x)、原点対称はy=−f(−x)という3つの公式をしっかり覚えておきましょう。
どの対称移動でも「どの座標の符号が反転するか」を考えると理解しやすいですよ！
