このページのまとめ
先に押さえておくこと
2次関数のグラフと軸・頂点の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。
答えの要点
図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。
- テーマ: 平方完成と頂点の公式
- ポイント: 軸と頂点は2次関数グラフの中核で、検索流入から最大最小や不等式へ回遊させやすい。
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問題
次の2次関数のグラフの軸の方程式と頂点の座標を求めよ。
(1)y=x2−6x+5 (2)y=−2x2+8x−3 解説
2次関数のグラフの軸と頂点の求め方について解説します。
2次関数のグラフは放物線だよね。
その放物線の対称軸が「軸」で、放物線の一番上または一番下の点が「頂点」なんだ。
(1)y=x2−6x+5 まずはx2−6xの部分に注目して平方完成しよう。
どんな式を展開すればx2−6xが出てくるかな？
(x−3)2を展開するとx2−6x+9になるので、x2−6xが出てきます！
いいね！(x−3)2=x2−6x+9だから、x2−6x=(x−3)2−9と書けるんだ。
(x−3)2=x2−6x+9より、x2−6x=(x−3)2−9となるので、
y=x2−6x+5 =(x−3)2−9+5 =(x−3)2−4 よって、y=(x−3)2−4の形になりました。
標準形y=a(x−p)2+qと比べると、p=3、q=−4だね。
したがって、軸の方程式はx=3、頂点の座標は(3,−4)となります。
y = x^2 - 6x + 5
(2)y=−2x2+8x−3 x2の係数が−2なのでマイナスがついていますね。
そうだね。x2の係数が1でないときは、まず係数で括り出すといいよ。
x2の項とxの項を−2で括り出すと、
y=−2x2+8x−3=−2(x2−4x)−3 括弧の中のx2−4xを平方完成しよう。
(x−2)2=x2−4x+4より、x2−4x=(x−2)2−4となるので、
y=−2(x2−4x)−3 =−2{(x−2)2−4}−3 =−2(x−2)2+8−3 =−2(x−2)2+5 −2が括弧の外にあるから、−4を外に出すと+8になるんですね！
したがって、軸の方程式はx=2、頂点の座標は(2,5)となります。
y = -2x^2 + 8x - 3
公式も便利だけど、平方完成の計算方法をしっかり身につけておくことが大切だよ。
最大・最小の問題など、平方完成は色々な場面で使うからね！
このページのまとめ
ここでは、2次関数のグラフの軸と頂点の求め方について学習しました。
平方完成を使ってy=a(x−p)2+qの形に変形することで、軸x=pと頂点(p,q)がわかります。
係数の符号に注意して、正確に計算できるように練習しましょう！
