2次不等式の文章題

問題

ある商品の1個あたりの利益は、販売価格を$x$円としたとき、$-x^2+1000x-240000$（円）で表される。

$(1)\quad$ 利益が正となるのは、販売価格がいくらからいくらのときか。

$(2)\quad$ 利益が$6400$円以上となる販売価格の範囲を求めよ。

解説

2次不等式の文章題について解説します。

文章題って何から手を付ければいいか分かりません...

文章題は「文章を数式に翻訳する」のがポイントだよ。

今回は利益に関する条件を不等式で表していこう！

利益が「正」とは、利益$> 0$ということです。

利益を表す式$-x^2+1000x-240000$が$0$より大きくなる$x$の範囲を求めます。

不等式を立てて解いていこう！

両辺に負の数をかけると不等号の向きが変わるんでしたね！

そう！よく覚えていたね。因数分解してみよう。

左辺を因数分解します。和が$1000$、積が$240000$となる2数を探すと$400$と$600$です。

$400 + 600 = 1000$、$400 \times 600 = 240000$ですね！

2次不等式$(x-400)(x-600) < 0$の解は、グラフを考えると、

下に凸の放物線$y=(x-400)(x-600)$が$x$軸より下にある部分を考えるんだよ。

グラフが$x$軸と交わる点の間で負になるね。

数直線で解を表すと、

よって、販売価格が$\underline{400円より高く600円未満}$のとき利益は正となります。

利益が「$6400$円以上」とは、利益$\geqq 6400$ということです。

左辺を因数分解します。和が$1000$、積が$246400$となる2数を探します。

和が$1000$なので、$500$を中心に考えよう。

$500-a$と$500+a$の形で、積が$246400$になる$a$を探すよ。

$(500-a)(500+a) = 250000-a^2 = 246400$より、$a^2 = 3600$なので$a = 60$です。

この不等式の解をグラフで確認しましょう。

数直線で解を表すと、

$\leqq$だから、$x=440$と$x=560$も含むんですね！

その通り！$\leqq$のときは等号が成り立つ点も解に含めるよ。

$x=440$のとき利益はちょうど$6400$円になるね。

よって、利益が$6400$円以上となるのは販売価格が$\underline{440円以上560円以下}$のときです。

文章題では、答えを問題文の言葉に合わせて書くことが大切だよ。

「$x$の範囲は...」だけでなく「販売価格は...」と書こう。

ここでは2次不等式の文章題について学習しました。

文章を不等式に「翻訳」することがポイントです。

利益、面積、長さなど様々な文章題がありますが、解き方の流れは同じです。

最後に答えを問題文に合った形式で書くことも忘れずに！