連立2次不等式

問題

次の連立不等式を解け。

解説

連立$2$次不等式の解き方について解説します。

連立不等式って、連立方程式みたいに代入したりして解くんですか？

いい質問だね。不等式の場合は、代入ではなく$\textcolor{red}{それぞれの不等式を別々に解く}$のがポイントだよ。

それぞれの解を数直線に並べて、重なっている部分が答えになるんだ。

まず①と②をそれぞれ解いていこう。

① $x^2-5x+6 \leqq 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると、

下に凸の放物線が$x$軸以下になる部分を考えると、

② $x^2-3x-4 > 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると、

下に凸の放物線が$x$軸より上になる部分を考えると、

それぞれの解を数直線上に表してみよう。

①の解（$2 \leqq x \leqq 3$）を青色、②の解（$x < -1$ または $x > 4$）を赤色で表すと、

あれ、青と赤が重なっている部分がないですね...

そうなんだ！①の解は $2 \leqq x \leqq 3$ の範囲に限られているけど、②の解は $x < -1$ と $x > 4$ の部分だけだよね。

つまり、両方を同時に満たす$x$は存在しないんだ。

①の解 $[2,\; 3]$ と②の解 $(-\infty,\; -1) \cup (4,\; +\infty)$ には重なりがありません。

よって、答えは$\underline{\text{解なし}}$です。

同じように、①と②をそれぞれ解こう。

① $x^2-4 \leqq 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると、

下に凸の放物線が$x$軸以下になる部分を考えると、

② $x^2-x-6 < 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると、

下に凸の放物線が$x$軸より下になる部分を考えると、

数直線に表して共通範囲を確認しよう。

①の解（$-2 \leqq x \leqq 2$）を青色、②の解（$-2 < x < 3$）を赤色で表すと、

今度は重なっている部分がありますね！

その通り！共通範囲を求めるときは、$\textcolor{red}{端点の条件}$に注意しよう。

$x=-2$ は、①では含む（$\leqq$）けど②では含まない（$<$）よね。

両方を同時に満たすためには、どちらか一方でも含まない場合は含まないんだ。

共通範囲を求めると、

• 左端：①は $x=-2$ を含む、②は $x=-2$ を含まない → $x=-2$ は$\textcolor{red}{含まない}$

• 右端：①は $x=2$ を含む、②の範囲 $x < 3$ に $x=2$ は含まれる → $x=2$ は$\textcolor{red}{含む}$

以上より、共通範囲は

よって、答えは $\underline{-2 < x \leqq 2}$ です。

端点を含むかどうかは、$\leqq$ と $<$ の違いをしっかり確認してね。

両方が「含む」のときだけ、答えも「含む」になるよ。

ここでは連立$2$次不等式の解き方について学習しました。

ポイントは、それぞれの不等式を$\textcolor{red}{個別に解いてから共通範囲を求める}$ことです。

数直線を使って図示すると、共通範囲が一目でわかるので、ぜひ活用してくださいね！