2次不等式の応用

問題

$(1)\quad$ 不等式 $x^2-3x+5>0$ を解け。

$(2)\quad$ 連立不等式 $\begin{cases} x^2-4x+3 \leqq 0 \\ 2x-5 < 0 \end{cases}$ を解け。

$(3)\quad$ すべての実数$x$に対して $x^2-2ax+a+6>0$ が成り立つような定数$a$の値の範囲を求めよ。

解説

2次不等式の応用問題について解説します。

2次不等式の基本は分かるんですが、応用になると難しいです...

大丈夫！どの問題も「グラフを考える」という基本は同じだよ。

パターンを覚えていけば解けるようになるから、一緒に見ていこう！

まず、左辺を因数分解しようとしてみよう。できるかな？

うーん...たすき掛けを試しても上手くいきません。

因数分解できない場合は、判別式を調べよう！

$y=x^2-3x+5$ の判別式を計算します。

$D<0$ ということは、$y=x^2-3x+5$ のグラフは$x$軸と交わらないんだ。

$x^2$の係数が正だから下に凸。つまり常にグラフは$x$軸の上にあるね。

グラフを見てみましょう。

グラフが全部$x$軸より上にありますね！だから$x^2-3x+5>0$ は常に成り立つんですね。

その通り！答えは「すべての実数」だよ。

以上より、$x^2-3x+5>0$ の解は $\underline{\text{すべての実数}}$ です。

連立不等式は、それぞれの不等式を解いてから共通部分を求めるんだよ。

まず1つ目の不等式 $x^2-4x+3 \leqq 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると $(x-1)(x-3) \leqq 0$ です。

下に凸の放物線が$x$軸以下になる部分を考えると、

次に2つ目の不等式 $2x-5 < 0$ を解きます。

①と②の共通部分を数直線で考えよう。

①と②を数直線上に表すと、

①は$1$から$3$まで、②は$\frac{5}{2}$より左側だから...共通部分は$1$から$\frac{5}{2}$までですね！

正解！$x=1$は含むけど$x=\frac{5}{2}$は含まない点に注意してね。

以上より、連立不等式の解は $\underline{1 \leqq x < \frac{5}{2}}$ です。

「すべての実数$x$に対して$>0$」って、$(1)$の結果と関係ありますか？

いい質問だね！まさにその通り。

$(1)$では $D<0$ かつ $a>0$ のとき、$2$次式が常に正になることを学んだよね。

この問題は逆に「常に正になる条件」を求めるんだ。

$f(x) = x^2-2ax+a+6$ とおきます。$x^2$の係数は$1>0$なのでグラフは下に凸です。

すべての実数$x$で $f(x)>0$ となるためには、グラフが$x$軸と交わらなければよいので、

判別式$D<0$の条件を求めよう！

あ！$a$についての$2$次不等式になりましたね！

そう！$a$についての$2$次不等式を解けばいいんだ。

$(a-3)(a+2) < 0$ を解くと、グラフを考えて、

以上より、答えは $\underline{-2 < a < 3}$ です。

この問題は入試でもよく出るパターンだよ。

「すべての$x$で$f(x)>0$」→「$D<0$」という流れをしっかり覚えておこう！

ここでは2次不等式の応用問題について学習しました。

判別式$D<0$のときは「すべての実数」か「解なし」になること、連立不等式は数直線上で共通部分を考えること、そして「常に正」の条件は$D<0$で求められることがポイントです。

入試でも頻出の内容なので、しっかり練習しておきましょう！