解の公式の証明

問題

解説

$2$次方程式の解の公式の証明をしていきます。

解の公式は必ず暗記した上で、証明方法も覚えておこう。

$ax^2+bx+c=0$を解の公式を使わずに解くためにはどのようにすれば良いでしょうか？

$2$次方程式の解法には、解の公式を用いる方法を除いて

1. 因数分解して解く方法
2. 平方根の考えを使う方法

この$2$つがあります。

$ax^2+bx+c$を因数分解するのは現実的ではないので、②の平方根の考えを使って$ax^2+bx+c=0$を解くことにしましょう。

平方根の考えを使う時は、「$2$乗=定数」の形に持っていけば良かったですね。

今回変数は$x$なので、$「(xの式)^2=定数」$の形に持っていくために平方完成します。

$x^2$の係数があると考えにくいので、$a$でくくりましょう。

$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac b a x\right)+c$となりますね。

$c$は定数だからくくる必要はないよ。

平方完成すると、

$a\left(x+\frac {b}{2a}\right)^2\textcolor{red}{{-a\left(\frac{b}{2a}\right)^2}}+c=0$となります。

赤文字の項は辻褄合わせをするために引いたものです。

次に定数を右辺に移項すると$a\left(x+\frac {b}{2a}\right)^2 =a\left(\frac{b}{2a}\right)^2-c$となります。

$「(xの式)^2=定数」$の形にしたいので左辺のカッコの外にある$a$が邪魔ですね。

$a=0$だと$2$次方程式ではないので、$a \neq 0$より$a$で両辺を割ると

$\left(x+\frac {b}{2a}\right)^2 =\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac c a$となります。

文字で割るときは必ず$0$じゃないことを確かめよう。

これで平方根の考えが適用できますね。

その前に右辺が$2$項になっていて分かりづらいので通分してしまいましょう。

$\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}$より、通分すると$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$となるので$\left(x+\frac {b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

ここで平方根の考えを使うと$x+\frac {b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$となります。

左辺の$\frac{b}{2a}$を移項すると$x=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac {b}{2a}$となり、あとはこれを通分すると、解の公式である$x=\underline{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$が導出できました。

よく分かりました！$1$つ質問なんですけど、よく$b$が偶数だったときの公式を見かけますがあれはどういう意味ですか？

$b$が偶数だと少し簡潔に計算できるんだ。

解の公式$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$において$b=2b'$とすると$x=\frac{-2b' \pm \sqrt{(2b')^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b' \pm \sqrt{4b'^2-4ac}}{2a}$ $=\frac{-2b' \pm \sqrt{4(b'^2-ac)}}{2a}=\frac{-2b' \pm 2\sqrt{b'^2-ac}}{2a}$ となるので、$2$で約分して$x=\underline{\frac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a}}$が導出できました。

$b$が偶数のときの解の公式って覚える必要ありますか？

うん。最初は違和感あって使いづらいだろうけど、係数の値が大きくなればなるほど効果があるんだ。

いざという時に自信を持って使えるように、普段から使う癖をつけておこう。

$b$が偶数である$2$次方程式の例題を見てみましょう。

$b$が偶数のときの解の公式を使わずに、普通の解の公式で考えると、$x=\frac{-94 \pm \sqrt{94^2-4\cdot 11 \cdot 36}}{2\cdot 11}$を計算することになります。

それに対して、$b$が偶数のときの解の公式を使うと$x=\frac{-47 \pm \sqrt{47^2-11\cdot36}}{11}$となります。

$b$が偶数のときの解の公式を使ってもなかなか計算量が多いですが、普通の解の公式を使うよりは計算量が少なく、それにより計算ミスも減ることが期待できます。

ここでは解の公式の証明（導出）を行いました。

解の公式は高校数学で頻繁に使うので、使うだけでなく導出する過程も理解しておきましょう！