定義域が動く場合の最大・最小

問題

$f(x)=x^2-2x+3$の$a \leqq x \leqq a+2$における最小値を$a$を用いて表せ。

解説

定義域が動く場合の2次関数の最小値について解説します。

定義域に$a$が入っていて、どこから考えればいいか分かりません...

この問題のポイントは、$a$の値によって定義域が左右に動くことだよ。

軸と定義域の位置関係で場合分けして考えよう！

まず、$f(x)$を平方完成します。

頂点は$(1,\,2)$で、軸は$x=1$だね。下に凸の放物線だよ。

定義域は$a \leqq x \leqq a+2$で、幅が$2$の区間です。$a$の値によってこの区間が左右に移動します。

軸$x=1$と定義域の位置関係で場合分けするんですね！

その通り！下に凸の放物線だから、軸に近い点ほど$y$の値は小さくなるよ。

軸が定義域に入っているかどうかで最小値が変わるんだ。

$\textcolor{red}{(\mathrm{i})\; a+2 < 1}$すなわち$\textcolor{red}{a < -1}$のとき

定義域$[a,\,a+2]$が軸$x=1$より左側にあるので、定義域内で$x=1$に最も近い点は右端の$x=a+2$です。

上のグラフでは、$a=-2$の場合を赤色で示しています。定義域$[-2,\,0]$は軸$x=1$より左にあり、右端$x=0$で最小値をとります。

よって最小値は

$\textcolor{red}{(\mathrm{ii})\; a \leqq 1 \leqq a+2}$すなわち$\textcolor{red}{-1 \leqq a \leqq 1}$のとき

軸$x=1$が定義域$[a,\,a+2]$の中にあるので、頂点で最小値をとります。

上のグラフでは、$a=0$の場合を赤色で示しています。定義域$[0,\,2]$の中に軸$x=1$が含まれており、頂点で最小値をとります。

よって最小値は

$\textcolor{red}{(\mathrm{iii})\; 1 < a}$すなわち$\textcolor{red}{a > 1}$のとき

定義域$[a,\,a+2]$が軸$x=1$より右側にあるので、定義域内で$x=1$に最も近い点は左端の$x=a$です。

上のグラフでは、$a=2$の場合を赤色で示しています。定義域$[2,\,4]$は軸$x=1$より右にあり、左端$x=2$で最小値をとります。

よって最小値は

場合分けの境目はどうやって決めるんですか？

いい質問だね！ポイントは「軸が定義域に入るかどうか」だよ。

軸$x=1$が定義域$[a,\,a+2]$に入る条件は$a \leqq 1 \leqq a+2$、つまり$-1 \leqq a \leqq 1$なんだ。

場合分けの境目で答えが一致するか確認しておくと安心だよ。

$a=-1$のとき：$a^2+2a+3 = 1-2+3 = 2$ で(ii)と一致するね。

$a=1$のとき：$a^2-2a+3 = 1-2+3 = 2$ で(ii)と一致するね。

ここでは、定義域にパラメータが含まれる2次関数の最小値について学習しました。

「軸が固定で定義域が動く」タイプの問題では、軸が定義域に入るかどうかで場合分けをすることがポイントです。

場合分けの境目で値が一致するかどうかも確認するようにしましょう！