定義域が制限された最大・最小

問題

2次関数$y=x^2-4x+5$について、次の定義域における最大値と最小値を求めよ。

解説

定義域が制限された2次関数の最大・最小について解説します。

定義域がある場合は、普通の最大・最小の求め方と何が違うんですか？

いい質問だね！定義域がない場合は軸（頂点の$x$座標）で最大または最小になるけど、定義域があると端点での値も考える必要があるんだ。

まずはこの2次関数を平方完成してみましょう。

この2次関数は、軸が$x=2$、頂点が$(2, 1)$で、下に凸のグラフだね。

定義域が$0 \leqq x \leqq 4$なので、軸$x=2$は定義域の中にありますね。

そうだね！軸が定義域内にある場合は、頂点で最小値をとるよ。

定義域$0 \leqq x \leqq 4$でのグラフを見てみましょう。

軸$x=2$が定義域$0 \leqq x \leqq 4$の真ん中にあるのがわかるね。定義域内で頂点$(2, 1)$が最小値、両端点$(0, 5)$と$(4, 5)$が最大値になるよ。

軸$x=2$が定義域$0 \leqq x \leqq 4$の内部にあるので、頂点で最小値をとります。

最小値は$x=2$のとき、$y=(2-2)^2+1=\underline{1}$

次に最大値を考えます。下に凸なので、定義域の端点で最大値をとります。

端点は$x=0$と$x=4$ですね。両方計算すればいいですか？

その通り！両端点での値を計算して、大きい方が最大値だよ。

$x=0$のとき：$y=(0-2)^2+1=4+1=5$

$x=4$のとき：$y=(4-2)^2+1=4+1=5$

あ！両方とも$5$で同じ値です！

よく気づいたね！軸からの距離が等しい点では、$y$の値も等しくなるんだ。これはグラフが軸について対称だからだよ。

よって、$x=0,\,4$のとき$\underline{最大値5}$、$x=2$のとき$\underline{最小値1}$

今度は軸$x=2$と定義域$3 \leqq x \leqq 5$の位置関係を確認しよう。

軸$x=2$は定義域の左側にあって、定義域内にはありませんね。

定義域$3 \leqq x \leqq 5$でのグラフを見てみましょう。

定義域$3 \leqq x \leqq 5$は軸$x=2$より右側にあるね。この範囲では、$x$が大きくなるほど$y$も大きくなるよ。

軸$x=2$が定義域$3 \leqq x \leqq 5$の外（左側）にあります。

下に凸の放物線なので、定義域内では$x$が小さいほど$y$も小さくなります。

軸が定義域の外にある場合は、端点だけを調べればいいよ。

$x=3$のとき：$y=(3-2)^2+1=1+1=2$

$x=5$のとき：$y=(5-2)^2+1=9+1=10$

よって、$x=5$のとき$\underline{最大値10}$、$x=3$のとき$\underline{最小値2}$

軸から離れた端点で最大値、軸に近い端点で最小値になるね。

ここでは、定義域が制限された2次関数の最大・最小について学習しました。

軸と定義域の位置関係を確認し、頂点と端点の$y$座標を比較することがポイントです。

グラフをイメージしながら解くと分かりやすいですよ！