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2次関数

場合分けを含む2次関数の最大・最小

軸の位置による場合分け

2次関数の「場合分けを含む2次関数の最大・最小」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「軸の位置による場合分け」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅰ 約9分 難易度 3 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

場合分けを含む2次関数の最大・最小の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 軸の位置による場合分け
  • ポイント: 2次関数の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

aaを定数とする。2次関数f(x)=x2−2ax+1  (0≦x≦2)f(x)=x^2-2ax+1\;(0 \leqq x \leqq 2)の最小値を求めよ。

答えを見る

a<0a<0のとき、x=0x=0で最小値  1‾\underline{最小値\;1}

0≦a≦20 \leqq a \leqq 2のとき、x=ax=aで最小値  1−a2‾\underline{最小値\;1-a^2}

a>2a>2のとき、x=2x=2で最小値  5−4a‾\underline{最小値\;5-4a}

解説

場合分けを含む2次関数の最大・最小について解説します。

定義域に文字aaが入っていないのに、場合分けが必要なんですか？

いい質問だね！今回は定義域0≦x≦20 \leqq x \leqq 2は固定だけど、関数の軸の位置\textcolor{red}{軸の位置}がaaによって変わるんだ。

軸が定義域の中にあるかどうかで、最小値をとる場所が変わるよ。

aaを定数とする。2次関数f(x)=x2−2ax+1  (0≦x≦2)f(x)=x^2-2ax+1\;(0 \leqq x \leqq 2)の最小値を求めよ。

まずは平方完成をして、軸と頂点を求めよう！

f(x)=x2−2ax+1f(x) = x^2 - 2ax + 1
=(x−a)2−a2+1= (x-a)^2 - a^2 + 1

よって、この2次関数は軸がx=ax=a、頂点が(a, 1−a2)(a,\, 1-a^2)で、下に凸のグラフです。

軸x=ax=aの位置はaaの値によって変わりますね。

その通り！だからaaの値によって場合分けが必要なんだ。定義域は0≦x≦20 \leqq x \leqq 2だから、軸x=ax=aがこの区間に対してどこにあるかで3つに分けるよ。

下に凸の放物線では、軸に近いほどyyの値は小さくなります。したがって、軸が定義域内にあれば頂点で最小\textcolor{red}{軸が定義域内にあれば頂点で最小}、軸が定義域外にあれば軸に近い端点で最小\textcolor{red}{軸が定義域外にあれば軸に近い端点で最小}となります。

それでは3つの場合に分けて考えていきましょう。

[1]  a<0\textbf{[1]}\;a<0のとき（軸が定義域の左側）

軸x=ax=aが定義域0≦x≦20 \leqq x \leqq 2の左側にあるので、定義域内ではxxが小さいほどyyも小さくなります。

x=0 x=2 (-1, 0) (0, 1) 最小 (2, 9) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6

上のグラフはa=−1a=-1の場合の例だよ。定義域0≦x≦20 \leqq x \leqq 2の中では、左端のx=0x=0で一番小さくなるのが分かるね。

したがって、最小値はx=0x=0のとき

f(0)=0−0+1=1‾f(0) = 0 - 0 + 1 = \underline{1}

[2]  0≦a≦2\textbf{[2]}\;0 \leqq a \leqq 2のとき（軸が定義域の内部）

軸x=ax=aが定義域0≦x≦20 \leqq x \leqq 2の内部にあるので、頂点で最小値をとります。

x=0 x=2 (1, 0) (0, 1) (1, 0) 最小 (2, 1) -1 0 1 2 3 4 -1 1 2 3 4

上のグラフはa=1a=1の場合の例だよ。頂点(1,0)(1, 0)が定義域内にあって、ここで最小値をとるね。

したがって、最小値はx=ax=aのとき

f(a)=(a−a)2−a2+1=1−a2‾f(a) = (a-a)^2 - a^2 + 1 = \underline{1-a^2}

[3]  a>2\textbf{[3]}\;a>2のとき（軸が定義域の右側）

軸x=ax=aが定義域0≦x≦20 \leqq x \leqq 2の右側にあるので、定義域内ではxxが大きいほどyyは小さくなります。

x=0 x=2 (3, -8) (0, 1) (2, -7) 最小 -1 0 1 2 3 4 5 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

上のグラフはa=3a=3の場合の例だよ。定義域0≦x≦20 \leqq x \leqq 2の中では、右端のx=2x=2で一番小さくなるのが分かるね。

したがって、最小値はx=2x=2のとき

f(2)=4−4a+1f(2) = 4 - 4a + 1
=5−4a‾= \underline{5 - 4a}

なるほど、3つの場合をまとめると答えになるんですね！

その通り！最後にまとめておこう。

場合分けの境界（a=0a=0やa=2a=2のとき）はどちらに含めてもいいんですか？

いい質問だね！a=0a=0のとき[1]の答えはf(0)=1f(0)=1、[2]の答えは1−02=11-0^2=1で一致するよ。

a=2a=2のときも[2]の答えは1−4=−31-4=-3、[3]の答えは5−8=−35-8=-3で一致する。

だから境界はどちらに含めても答えは同じなんだ。ただし、隣り合う場合で答えが一致することを確認しておく\textcolor{red}{隣り合う場合で答えが一致することを確認しておく}のは大事だよ！

このページのまとめ

ここでは、定義域に対する軸の位置によって場合分けをする2次関数の最小値の問題について学習しました。

場合分けのポイントは、軸x=ax=aが定義域の「左側」「内部」「右側」のどこにあるかを考えることです。

場合分けの境界では答えが一致することを確認する習慣をつけましょう！

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