2次関数の最大と最小

問題

次の$2$次関数の最大値と最小値があれば、その値を求めよ。

解説

2次関数の最大と最小の問題について解説します。

実際に問題を見ていきます。

この$2$次関数を見て、どう考えるかな？

$x^2$の係数が$1$なので下に凸ということですか？

その通り！まずは関数を見てどちらに凸なのかを見よう。

次にこの$2$次関数を$y=a(x-p)^2+q$の形に変形します。

$y=a(x-p)^2+q$の形に変形することを$\textcolor{red}{平方完成}$と言うんだ。

ええと$\cdots$どうやってその形に持っていけばいいのか分かりません。

まずは、$y=\textcolor{red}{x^2-4x}+2$の$\textcolor{red}{ x^2-4x}$に注目しよう。

どんな式を展開すれば$x^2-4x$が出てくると思う？

$(x-2)^2$を展開すれば$x^2-4x$が出てきます。

そうだね！定数の部分は一旦無視して考えるんだ。

$(x-2)^2$を展開すると、$x^2-4x+4$になりますよね。

$(x-2)^2=x^2-4x+4$で、右辺の$+4$を移項すると$\textcolor{red}{(x-2)^2-4}=\textcolor{red}{x^2-4x}$となります。

$(1)$の$2$次関数である$y=\textcolor{red}{x^2-4x}+2$にあてはめると、$y= \textcolor{red}{(x-2)^2-4}+2$となるので、定数の部分だけ計算すれば$y=(x-2)^2-2$となります。

定数は最後に辻褄を合わせればいいんですね！

最初に下に凸ということが分かっているため、

というように答えを求めることができます。

次の問題を見ていきましょう。

先ほどと同様に、まず関数がどちらに凸なのかを考えます。

$x^2$の係数が$-1$だから上に凸ですね！

次に、この$2$次関数を$y=a(x-p)^2+q$の形に変形します。

展開したら$-x^2-5x$が出てくるのは$\cdots$

$x^2$の係数にマイナスがついているときは、先にマイナスで括り出してしまいましょう。

$-x^2-5x = -(x^2+5x)$というように括り出せます。

では、展開して$x^2+5x$が出てくるような式を考えましょう。

$\left (x+ \frac{5}{2} \right )^2$を展開すると出てきます！

その通り！

2次関数に戻り、$y=-(x^2+5x)$$=-\left(x+ \frac{5}{2}\right)^2 \textcolor{red}{+\frac{25}{4}}$というように$\frac{25}{4}$を足すことで辻褄合わせをすることにより平方完成ができました。

辻褄を合わせるときの符号に注意してね。

今回は最初にマイナスで括っていたから$\frac{25}{4}$を引くんじゃなくて足したんだ。

上に凸の関数であったことをふまえれば、答えは $\underline{{ x=- \frac{5}{2}}のとき最大値{ \frac{25}{4}}をとり、最小値はなし}$となります。

ここでは、$2$次関数の最大と最小の求め方について学習しました。

この計算は数学Ⅱ・数学Ⅲでも頻出なので、素早く正確に計算できるように練習しましょう！